Question

3. Analiza la situación problemática y luego resuelve, aplicando logaritmos.
Una ciudad tiene en la actualidad una población de 2 354 478 habitantes. En cuantos años
llegará a tener 3 164 222 habitantes si la tasa de crecimiento anual es del 3%?​

Answer 1

La población será  3 164 222 habitantes en aproximadamente 44,8 años.

Explicación paso a paso:

El modelo de crecimiento exponencial de una población (P) plantea que esta depende del tiempo (t) que transcurra, en conocimiento de la población inicial (Po) y de la tasa de crecimiento poblacional (k).

$\bold{P_{(t)}~=~Po\cdot e^{k\cdot t}}$

En la situación planteada,  Po  =  2354478  habitantes,  k  =  0,03  y  P(t)  =  3164222  habitantes.  Se quiere conocer el valor de t.

Se sustituye en la fórmula anterior y se despeja el valor de  t  aplicando propiedades de los logaritmos:

$\bold{3164222~=~(2354478)\cdot e^{(0,03)\cdot t}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{3164222}{2354478}~=~ e^{(0,03)\cdot t}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Ln(\dfrac{3164222}{2354478})~=~ Ln(e^{(0,03)\cdot t})\qquad\Rightarrow\qquad (0,03)\cdot t~=~Ln(\dfrac{3164222}{2354478})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{t~=~(\dfrac{1}{0,03})\cdot Ln(\dfrac{3164222}{2354478})\qquad\Rightarrow\qquad t~\approx~44,8~a\~{n}os}$

La población será  3 164 222 habitantes en aproximadamente 44,8 años.