Question

Un fabricante desea cortar en dos partes, una pieza de alambre de 1 metro de longitud:

a. Una parte debe doblarse en forma de círculo y la otra en forma de cuadrado.
Cómo debe cortarse el alambre de modo que la suma de las áreas sea máxima.

b. Suponga que una parte del alambre se dobla en forma de círculo y la otra se dobla en forma de triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el alambre de modo que la suma de las áreas sea mínima.

Answer 1

Lo que deseamos es optimizar el area:

a) Sea x el trozo de alambre que es usado para la circunferencia y 1-x el trozo para el cuadrado:

    Acuadrado= $L^{2}$
    L= [1-x]/4
    Acudrado= $( [1-x]/4)^{2}$
    Acuadrado= $(1-x)^{2} /16$
   
    Acírculo=$\pi$$R^{2}$
    Perímetro círculo: x= 2$R\pi$; R= x/$2 \pi$
    Acírculo= $\pi (x/2 \pi )^{2}$
    Acírculo = $x^{2} /4 \pi$
Sumando áreas:
At= Acuadrado+Acirculo
At= $(1-x) ^{2} /16 + x^{2} /4 \pi$

Derivamos

At'= -2(1-x)/16 + 2x/ /4 \pi [/tex]
At'= -(1-x)/8+ x/ /2 \pi [/tex]

igualando a cero

0=-(1-x)/8+ x/ 2 \pi 
(1-x)/8=  x/ 2 \pi 

2 \pi(1-x)=8x
-x\pi-\pi=4x
\pi= x(4+\pi)
x=\pi/(4+\pi) (punto crítico) valor para la que el área es máxima



b)
L= 1-x
Atriangulo = $(\sqrt{3} /4) L^{2}$/2
 
Realizas exactamente el mismo procedimiento anterior solo que al encontrar el valor de x y la expresión de At debes comprobar el teorema de la segunda derivada, esto de hace derivando nuevamente la expresión de At y si el resultado es un número negativo el valor de x representa un área máxima si el valor de x es positivo representa un área mínima.