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Ya has trabajado con números en una recta numérica. Sabes cómo graficar números como 0, 1, 2, 3, etc. en la recta numérica. Existen otros tipos de números que pueden graficarse también. Veamos cómo se ven y donde se localizan en la recta numérica.
Números Naturales y Números Enteros
En matemáticas, a veces es útil hablar de grupos de cosas, que se llaman conjuntos. Los números pueden agruparse en conjuntos, y un número particular puede pertenecer a más de un conjunto.
Probablemente estés familiarizado con el conjunto de los números naturales, que también se llaman números contables. Estos son los números 1, 2, 3, etc. — los números que usamos para contar.
La siguiente es una ilustración de los números naturales graficados en la recta numérica.
La recta numérica continúa en ambas direcciones. El conjunto de números naturales sólo continúa a la derecha, por lo que puedes incluir el 6, 7, etc. pasando por los cientos, los miles, y más allá. ¡No caben todos en la figura!
Cuando se añade el 0 al conjunto de 1, 2, 3, etc., se forma el conjunto de los números enteros positivos. Estos se llaman “enteros” porque no tienen partes fraccionales. (Un turco para acordarte de lo que son los números enteros es pensar en la palabra entero, que significa que algo no está dividido.)
La siguiente ilustración muestra los números enteros positivos graficados en la recta numérica.
Enteros
Cuando trabajas con algo como la temperatura, a veces quieres usar números que son menores que cero, que se llaman números negativos. Los números negativos se escriben usando el signo negativo, como en −1, −5, y −30. Estos se leen "menos uno," "menos cinco," y "menos treinta." (El negativo no debe leerse como "menos"; menos significa resta.)
Los números mayores que 0 se llaman números positivos y se pueden escribir sin el signo “+”. ¡Observa que el 0 no es negativo ni positivo!
Los números enteros son los números: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. La siguiente ilustración muestra los números enteros graficados en la recta numérica. Los enteros incluyen el cero y continúan de derecha a izquierda.
¿A qué conjunto de números mostrados abajo pertenece el 0?
números naturales
números enteros positivos
números enteros
A) sólo a los números naturales
B) sólo a los números enteros positivos
C) a los números naturales y a los números enteros positivos
D) sólo a los números enteros
E) sólo a los números enteros positivos y a los números enteros
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Valor Absoluto y la Recta Numérica
La recta numérica siguiente muestra todos los números enteros entre e incluyendo el −5 y el 5. Observa que los enteros positivos están a la derecha: 1, 2, 3, etc. Y los enteros negativos están a la izquierda: −1, −2, −3, etc.
En la recta numérica, la distancia entre la posición de un número y el 0 se llama [valor absoluto].Para escribir el valor absoluto de un número, se usan líneas verticales (|) a cada lado del número. Por ejemplo, el valor absoluto de −3 se escribe |−3|.
Observa que la distancia siempre es positiva o 0.
|−3| = 3, porque −3 está a una distancia de 3 unidades de 0 y |3| = 3, porque 3 está a una distancia de 3 unidades de 0.
Aquí hay otros ejemplos.
|0| = 0
|−23| = 23
|6| = 6
|817| = 817
|−3,000| = 3,000
Ejemplo
Problema
Encuentra |x| cuando x = −7.
|x|
|−7|
Sustituye −7 por x en la expresión.
Respuesta
|−7|= 7
Como −7 está a 7 unidades del 0, el valor absoluto es 7.
Para localizar un entero en la recta numérica, imagina que te paras sobre el 0. Si el número es 0, ya estás ahí. Si el número es positivo, miras hacia la derecha — los números mayores que 0. Si el número es negativo, miras hacia la izquierda — números menores que 0. Entonces, caminas el número de unidades igual al valor absoluto del número.
Ejemplo
Problema
Encuentra −4 en la recta numérica. Luego determina |−4|.
Imagina que te paras en el 0. Como −4 es negativo, miras hacia la izquierda.
Te mueves desde el cero 4 unidades en la dirección negativa.
Dibuja un punto en la recta numérica en el lugar del −4.
Respuesta
|−4| = 4
La dirección no afecta el valor absoluto, sólo la distancia que se ha recorrido.
¿Qué punto representa el −2 en la recta numérica?
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Opuestos
También habrás notado que, excepto por el 0, los enteros vienen en pares de números positivos y negativos: 1 y −1, 3 y −3, 72 y −72, etc. Cada número es el opuesto del otro número en el par: 72 es el número opuesto del −72, y −72 es el número opuesto del 72.
Un número y su opuesto están a la misma distancia del 0, por lo que tienen el mismo valor absoluto.
|72| = 72, y |−72| = 72
El conjunto de los enteros son todos los números enteros positivos y sus opuestos.