Question

4. Se tiene un triángulo ABC, donde las coordenadas de sus vértices son A (-4, 2) B (5, 3) y C (4, 6). Calcula el área de la región triangular.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta de matemáticas sobre el área de un triangulo a partir de sus vértices es: El área de la región triangular mide 14 unidades cuadradas.

TEMA: DISTANCIA ENTRE PUNTOS

Los 3 puntos en el plano forman un triangulo, si conocemos la medida de los lados de ese triangulo podemos calcular el área del mismo.

La medida de esos lados del triangulo lo podemos hallar calculando la distancia entre cada uno de los puntos que lo conforman.

Tenemos la siguiente formula que nos permitirá hallar esa distancia:

$\mathbf{d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} +(y_{2}-y_{1})^{2} } }$

Donde d ---> distancia

            x1, x2, y1, y2, los puntos a los que se les hallará su distancia.

Distancia AB

A(-4, 2)     B(5, 3)

x1 = -4

x2 = 5

y1 = 2

y2 = 3

Remplazando estos valores en "d"

$\mathbf{d = \sqrt{(5+4)^{2} +(3-2)^{2} } }\\\\\mathbf{d = \sqrt{(9)^{2} +(1)^{2} } }\\\\\mathbf{d = \sqrt{82} }\\\\\mathbf{d = 9.05 }$

Distancia BC

B(5, 3)     C(4,6)

x1 = 5

x2 = 4

y1 =3

y2 = 6

Remplazando en "d"

$\mathbf{d = \sqrt{(4-5)^{2} +(6-3)^{2} } }\\\\\mathbf{d = \sqrt{(-1)^{2} +(3)^{2} } }\\\\\mathbf{d = \sqrt{10} }\\\\\mathbf{d = 3.16 }$

Distancia CA

C(4,6)       A(-4, 2)

x1 = 4

x2 = -4

y1 = 6

y2 = 2

Remplazando en "d"

$\mathbf{d = \sqrt{(-4-4)^{2} +(2-6)^{2} } }\\\\\mathbf{d = \sqrt{(-8)^{2} +(-4)^{2} } }\\\\\mathbf{d = \sqrt{80} }\\\\\mathbf{d = 8.94 }$

La medida de los lados del triangulo son:

AB = 9.05

BC = 3.16

CA = 8.94

Para calcular el área de la región triangular, usaremos la formula de Heron.

$\mathbf{A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }\\\\\textbf {Donde: }\\\\\mathbf{p = \frac{a+b+c}{2} }$

Siendo a, b, c los lados del triangulo.  

Remplazando, tenemos que:

$\mathbf{p = \frac{9.04 + 3.16 + 8.94}{2}=10.57 }$

Ahora el área de la región triangular es:

$\mathbf{A = \sqrt{10.57(10.57-9.04)(10.57-3.16)(10.57-8.94)} }\\\\\mathbf{A = \sqrt{195.33} }\\\\\mathbf{A = 14 }$