Question

10.- Se desconoce la masa de dos pelotas de boliche, sólo se sabe que pesan lo mismo y que se
encuentran separadas 14 m una de la otra, y que la fuerza de atracción entre ambas es de 4x10-12 N.
¿Cuál será la masa de cada una?

Answer 1

La masa de cada una de las dos pelotas de boliche es de aproximadamente 3.43 kilogramos

Solución

Determinamos la masa de las dos pelotas de boliche

Teniendo ambas masas el mismo valor

Donde sabemos que

La fuerza de atracción gravitacional entre ambas es:

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} = 4 \ . \ 10^{-12} \ N }}$

Empleamos la fórmula

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} = G\ \frac{m_{1} \ . \ m_{2} }{ d^{2} } }}$

Donde

$\large\boxed {\bold {G = 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{N \ m ^{2} }{kg^{2} }}}$

Donde

$\bold{ m_{1},\ \ m_{2}} \ \ \ \ \large\textsf{Masa de los cuerpos }$

$\bold{ d} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Distancia }$

$\bold{ F} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza atracci\'on masas }$

$\bold{ G} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Constante de gravitaci\'on universal }$

Como debemos hallar la masa de las bolas de boliche

$\large\textsf{Despejamos la variable masa }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} = G\ \frac{m_{1} \ . \ m_{2} }{ d^{2} } }}$  

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} \ . \ d^{2} \ = G\ .\ m_{1} \ . \ m_{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{ m_{1} \ . \ m_{2} =\ \frac{ F_{g} \ . \ d^{2} }{G} }}$

Como las masas son iguales

$\bold { m_{1 } = m_{2} }$    ⇒   $\bold { m_{1 } \ . \ m_{2 } =m^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ F_{g} \ . \ d^{2} }{G} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$            

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 4 \ . \ 10^{-12} \ N \ . \ (14 \ m) ^{2} }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{N \ m^{2} }{kg^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 4 \ . \ 10^{-12} \ N \ . \ 196 \ m ^{2} }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{N \ m^{2} }{kg^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 4 \ . \ 10^{-12} \not N \ . \ 196 \not m ^{2} }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{\not N \not m^{2} }{kg^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 4 \ . \ 10^{-12} \ . \ 196 }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} } \ kg^{2} }}$

$\textsf{Agrupamos coeficientes y exponentes para operar en notaci\'on cient\'ifica }$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{4 \ . \ 196}{6,67} \ . \ \left( \frac{ 10^{-12} }{ 10^{-11} } \right) \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{4 \ . \ 196 }{6,67} \ \left( \frac{ 1 }{ 10^{-11} \ . \ 10^{12} } \right) \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \left( \frac{4\ . \ 196 }{6,67} \right) \ \left( \frac{ 1 }{ 10^{1} } \right) \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \left( \frac{4\ . \ 196 }{6,67} \right) \ \left( \frac{ 1 }{ 10 } \right) \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{4 \ . \ 196 }{6,67\ . \ 10} \ kg^{2} }}$

$\textsf{Descomponemos 4 y 10 en sus factores primos }$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{2 \ . \ 2 \ . \ 196 }{6,67\ . \ 2 \ . \ 5} \ kg^{2} }}$

$\textsf{Cancelamos los factores comunes }$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{\not 2 \ . \ 2 \ . \ 196 }{6,67\ . \not 2 \ . \ 5} \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{ \ 2 . \ 196 }{6,67\ . \ 5 } \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \frac{392 }{33.35 } \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m = \pm\ \sqrt{ \frac{392 }{33.35 } \ kg^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ m =\pm \sqrt{ 11.75412293853 \ kg^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ m =\pm \ 3.42842 \ kg }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\boxed{ \bold{ m = \ 3.42842\ \ kg \ , - 3.42842 \ kg }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de m }$

$\large\boxed{ \bold{ m = 3.43 \ kg }}$

La masa de cada una de las dos pelotas de boliche es de aproximadamente 3.43 kilogramos