Question

1. Una flecha es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30m/s. Calcular: el tiempo que se demora subiendo, el tiempo que se demora bajando, el tiempo de vuelo y la altura máxima que alcanza la flecha.

Answer 1

El tiempo de subida del proyectil es de 3.06 segundos

El tiempo de bajada es igual al tiempo de subida

El tiempo de vuelo de la flecha es de 6.12 segundos

La flecha alcanza una altura máxima de 45.92 metros

Se trata de un problema de tiro vertical

En el tiro vertical un objeto es lanzado verticalmente con determinada velocidad inicial hacia arriba o hacia abajo

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad.

La aceleración de la gravedad se puede considerar constante y dirigida hacia abajo.

Si se establece un sistema de referencia en el plano cartesiano el objeto se encuentra sobre el eje y, donde  $\bold { y_{0} = H }$

Y donde el cuerpo parte con determinada velocidad inicial, siendo su aceleración constante y esta toma el valor de la gravedad.

$\large\textsf{Donde se pueden tener dos casos seg\'un el sistema de referencia }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia arriba } \bold { \ donde \ la \ velocidad \ inicial\ V_{0} > 0 }$  

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia abajo } \bold { donde \ la \ velocidad \ inicial\ \ V_{0} < 0 }$

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

Solución

Se toma un valor de gravedad de 9.8 m/s²

Hallamos el tiempo de subida de la flecha

El tiempo que emplea el objeto en subir es cuando alcanza la altura máxima

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por:

$\large\boxed {\bold {V_{f} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad final es cero

$\bold { V_{f} = 0 }$

$\boxed {\bold {V_{f} = 0 \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\large\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0} }{g} }}$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{30 \ \frac{\not m}{\not s} }{ 9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = 3.06\ segundos }}$

Hallando el tiempo de bajada de la flecha

Como el tiempo que tarda un cuerpo en subir es el mismo que tarda en bajar luego

$\large\textsf{El tiempo de bajada es igual al tiempo de subida }$

$\large\boxed {\bold {t_{bajada} = 3.06\ segundos }}$

Hallando el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

Como hemos mencionado el tiempo que tarda un cuerpo en subir es el mismo que tarda en bajar luego

$\large\textsf{El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire es }$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = t_{vuelo} }}$

El tiempo de vuelo es 2 veces el tiempo de subida

$\large\boxed {\bold {t_{vuelo} = 2\ t_{subida} }}$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold {t_{vuelo} = 2\ . \ (3.06 \ s ) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{vuelo} = 6.12 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 6.12 segundos

Hallamos la altura máxima alcanzada por la flecha

La altura máxima está dada por la ecuación:

$\large\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{(V_{0})^{2} }{2g} }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{(30 \ \frac{m}{s} )^{2} }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{900 \ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2} } }{ 19.6 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = 45.918367\ m }}$

$\large\boxed {\bold {H_{MAX} = 45.92\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la flecha es de 45.92 metros