Question

Hallar el área que, en el primer cuadrante, está limitada por el eje X y por la siguiente función: y=6x+x^2-x^3

Answer 1

Pues primer deberíamos hallar las raíces del polinomio, para eso hacemos y=f(x)=0, es decir igualamos el polinomio a cero,

$6x+ x^{2} - x^{3} =0 \\ x(6+x- x^{2} )=0 \\ x(x-3)(x+2)=0 \\ \\ Raices, \\ x=0 \\ x=3 \\ x=-2$

De aquí, eje ejercicio nos pide que hallemos el área del primer cuadrando entonces consideramos las raíces $x=0$  y  $x=3$

Ahora, el resto es el trabajo de una integral,

$\int\limits^0_3 {(6x+ x^{2} - x^{3}) } \, dx =(6) \frac{ x^{2} }{2} + \frac{ x^{3} }{3} - \frac{ x^{4} }{4} ]^{0}_3 \\ \\ 3 x^{2} + \frac{ x^{3} }{3} - \frac{ x^{4} }{4}]^{0}_3$

tenemos que evaluar ésta integral, aplicamos el teorema fundamental del cálculo,

$F(b)-F(a) \\ \\ (3 (3)^{2} + \frac{ (3)^{3} }{3} - \frac{ (3)^{4} }{4})-(3 (0)^{2} + \frac{ (0)^{3} }{3} - \frac{ (0)^{4} }{4}) \\ \\ 27+9- \frac{81}{4} = \frac{63}{4} =15,75$


y eso sería todo