Question

Un cateto de un triángulo rectángulo es 3 unidades
mayor que el doble de la longitud del otro. La hipotenusa
es 3 veces la longitud del cateto más corto. Encuentra las
longitudes de los tres lados del triángulo.

Answer 1

Datos:

a: Cateto Largo

b: Cateto Corto

h: Hipotenusa

Explicación paso a paso:

$a=(2*b)+3\\ h=3*b\\h=\sqrt{a^2+b^2}$

Tenemos un sistema de ecuaciones (tres ecuaciones con tres incógnitas)  lo resolvemos por el método de igualación (igualando la 2° ecuación $h=3*b$con la 3° ecuación $h=\sqrt{a^2+b^2}$) Quedando asi:

$3*b=\sqrt{a^2+b^2}\\ (3*b)=(\sqrt{a^2+b^2} )\\ 9*b^2=a^2+b^2\\ 9*b^2-b^2=a^2\\8*b^2=a^2$

Luego Usamos la 1° ecuacion $a=2*b+3$ con la ultima que nos dio $8*b^2=a^2$ aplicando el metodo de sustitucion

$8*b^2=(2*b+3)^2\\ 8*b^2=(2*b)^2+2*(2*b)*(3)*(3)^2\\ 8*b^2=4*b^2+12*b+9\\8*b^2-4*b^2-12*b-9=0\\ 4*b^2-12*b-9=0$

Nos queda una ecuacion cuadratica y esta se resuelve de la siguiente forma:

$b_{1}=\frac{-(-12)+\sqrt{(-12)^2-4*(4)*(-9)} }{2*(4)}\\ \\b_{1}=\frac{12+\sqrt{144+144} }{8}\\ \\ b_{1}=\frac{12+\sqrt{288} }{8}\\ \\b_{1}=\frac{12+12}{8}\\ \\ b_{1}=\frac{24}{8}\\ \\ b_{1}=3$

$b_{2}=\frac{12-12}{8}\\ \\ b_{2}=\frac{0}{8}\\ \\ b_{2}=0$

Se toma que el lado b=3 ya que no puede ser cero para un triangulo

Ahora tomamos la primera ecuacion $a=(2*b)+3$ tomando en cuenta que el lado b=3

$a=(2*b)+3\\ a=(2*(3))+3\\ a=6+3\\ a=9$

Ahora aplicamos la 3° ecuacion $h=\sqrt{a^2+b^2}$ si sabemos que b=3 y a=9

$h=\sqrt{(9)^2+(3)^2}$

$h=\sqrt{81+9}\\ h=\sqrt{90}\\ h=9,49$

Respuesta:

a=9, b=3, h=9,49