Question

Hola a toda la comunidad hace poco envíe un problema sobre cambio de matrices ya trate de resolverlo pero honestamente no estoy seguro de estar en lo correcto, ¿me podrían ayudar para ver si estoy en lo correcto? envío el problema como los resolví.
Espacios vectoriales, bases, matriz de transición
Problema:
Considere las siguientes bases en R2: B = {(1,0), (0,1)} y N = {(1,1), (-1,1)}.
Encuentra A = la matriz de transición de la base B a la base N.
Encuentra P = La matriz de transición de la base N a la base B.
¿Qué relación hay entre A y P? formula una conclusión y pruébala.
Respuesta:
Expresando los vectores de la base N en la base B se tiene.
(1,0) = α (1,1) + β(-1, 1)
(0,1) = ϒ (1,1) + δ(-1, 1)
Resolviendo el primer sistema.
1= α - β
0= α +β sustituyendo β = α + 0
Sustituyendo en ecuación 1 tenemos
1= α - β → 1= α - 1( α+0)
Aislamos el valor de alfa y resolvemos por términos semenjantes
1 = α - 1α – 0
1 = 2 α → α = ½ y resolvemos β = α + 0 → β = ½ + 0 = ½
Entonces para el segundo sistema.
0 = ϒ - δ
1 = ϒ + δ
ϒ = - δ sustituyendo ϒ = -1/2 = δ=-½
Así la matriz de transición A, de la base B a la base N, será.
N(1)B=(■(1/2&-1/2@1/2&-1/2))
Ahora bien.
Expresando los vectores de la base B en la base N se tiene.
(1, 1) =(1,0)-(0,1)
(-1,1) =(1,0)+(0,1)
Así la matriz de transición P, de la base N a la base B, será.
B(1)N = (■(1&-1@1& 1))
Conclusiones.
Se concluye que la matriz B(1)N es la inversa de la matriz N(1)B para probarlo tenemos:
(■(1& -1@1& 1))(■(1/2&-1/2@1/2&-1/2))=(■(0& 0 @1&-1)) siendo esta la matriz identidad.
Ya que si voy de una base a otra el resultado al multiplicarlo debe dar como resultado una matriz identidad. Para nuestro caso sería.
B(1)N x N(1)B = matriz identidad. O bien,
B(1)B = matriz identidad
Todas las matrices de cambio de base serán siempre cuadráticas e invertibles.

Answer 1

Respuesta:

Lo estoy leyendo y creo que estás en lo correcto