Question

Calcule el volumen del tetraedro cuyos vértices ABCD son: A(−5,0,1); B(2,1,3); C(1,−2,0); D(0,3,4)

Answer 1

Recordemos que con tres vectores podemos "formar" un paralelepípedo (en realidad con más vectores, pero con 3 de estos es suficiente para calcular su volumen). Sean los vectores $\vec a,\vec b\,,\vec c$ entonces el volumen del paralelepípedo es 
 
                              $V=|\vec a\cdot (\vec b\times \vec c)|=\left|\det\left( \begin{matrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{matrix}\right) \right|$

Entonces calculemos el volúmen del tetraedro (cuyo volumen es la mitad del paralelepípedo), antes hallemos 3 vectores

        $\vec x=B-A=(7,1,2)\\ \vec y=C-A=(6,-2,-1)\\ \vec z=D-A=(5,3,3)\\ \\ \\ V=\dfrac{1}{2}\left|\det\left( \begin{matrix} 7&1&2\\ 6&-2&-1\\ 5&3&3 \end{matrix} \right)\right|=\dfrac{1}{2}|7(-3)-(23)+2(28)|\\ \\ \\ \boxed{V=6}$