Calcule el volumen del tetraedro cuyos vértices ABCD son: A(−5,0,1); B(2,1,3); C(1,−2,0); D(0,3,4)
Respuestas
Respuesta dada por:
4
Recordemos que con tres vectores podemos "formar" un paralelepípedo (en realidad con más vectores, pero con 3 de estos es suficiente para calcular su volumen). Sean los vectores
entonces el volumen del paralelepípedo es
![V=|\vec a\cdot (\vec b\times \vec c)|=\left|\det\left(
\begin{matrix}
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3
\end{matrix}\right)
\right| V=|\vec a\cdot (\vec b\times \vec c)|=\left|\det\left(
\begin{matrix}
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3
\end{matrix}\right)
\right|](https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%7C%5Cvec+a%5Ccdot+%28%5Cvec+b%5Ctimes+%5Cvec+c%29%7C%3D%5Cleft%7C%5Cdet%5Cleft%28%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aa_1%26amp%3Ba_2%26amp%3Ba_3%5C%5C%0Ab_1%26amp%3Bb_2%26amp%3Bb_3%5C%5C%0Ac_1%26amp%3Bc_2%26amp%3Bc_3%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%29%0A%5Cright%7C)
Entonces calculemos el volúmen del tetraedro (cuyo volumen es la mitad del paralelepípedo), antes hallemos 3 vectores
![\vec x=B-A=(7,1,2)\\
\vec y=C-A=(6,-2,-1)\\
\vec z=D-A=(5,3,3)\\ \\ \\
V=\dfrac{1}{2}\left|\det\left(
\begin{matrix}
7&1&2\\
6&-2&-1\\
5&3&3
\end{matrix}
\right)\right|=\dfrac{1}{2}|7(-3)-(23)+2(28)|\\ \\ \\
\boxed{V=6} \vec x=B-A=(7,1,2)\\
\vec y=C-A=(6,-2,-1)\\
\vec z=D-A=(5,3,3)\\ \\ \\
V=\dfrac{1}{2}\left|\det\left(
\begin{matrix}
7&1&2\\
6&-2&-1\\
5&3&3
\end{matrix}
\right)\right|=\dfrac{1}{2}|7(-3)-(23)+2(28)|\\ \\ \\
\boxed{V=6}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec+x%3DB-A%3D%287%2C1%2C2%29%5C%5C%0A%5Cvec+y%3DC-A%3D%286%2C-2%2C-1%29%5C%5C%0A%5Cvec+z%3DD-A%3D%285%2C3%2C3%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0AV%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%5Cdet%5Cleft%28%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A7%26amp%3B1%26amp%3B2%5C%5C%0A6%26amp%3B-2%26amp%3B-1%5C%5C%0A5%26amp%3B3%26amp%3B3%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%29%5Cright%7C%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7C7%28-3%29-%2823%29%2B2%2828%29%7C%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7BV%3D6%7D)
Entonces calculemos el volúmen del tetraedro (cuyo volumen es la mitad del paralelepípedo), antes hallemos 3 vectores
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