Question

Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los
extremos. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Considere la densidad
lineal como: p(x)=Rx^2

Answer 1

1) Cálculo de la expresión cuadrática de la densidad

Densidad, p(x) = R x^2

Densidad en el extremo más pesado => x = 60 cm, p(x) = 7200

7200  = R (60)^2 => R = 7200 / 3600 = 2

=> p(x) = 2 x^2

2) Cálculo del centro de masa

Se trata de un sistema en que la distribución de la materia es contínua, por tanto la ecuación involucra una integral, a saber:

centro de masa = $\int\limits^{60}_0 {(x)(2 x^{2}) } \, dx / \int\limits^{60}_0 {2 x^{2} } \, dx$


= [x^4 / 4 ] evaluado de 0 a 60  / [x^3 / 3] evaluado de 0 a 60 =

= {[60^4 - 0] / 4 } / {[60^3 - 0] / 3} = 3*60 / 4 = 45 cm

x = 45 cm

3) Calculo de la masa total

$\int\limits^{60}_0 {2 x^{2} } \, dx$

= 2x^3 / 3 evauluado de 0 a 60 =

= 2*60^3 / 3 = 144000 g

m = 144 kg