Question

A qué distancia se encuentra la casa del punto B hasta el castillo del punto C.

Answer 1

La distancia desde la casa al castillo es de aproximadamente 117.86 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Dado que se completa el enunciado del problema:

Ver archivo adjunto

Según la figura que se adjunta se representa la situación en un triángulo oblicuángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la distancia desde la casa de Mariana al castillo, el lado AB (c) que equivale a la distancia desde la casa de Mariana hasta la muchacha -donde Mariana se ubica en el vértice A-, luego de alejarse de su casa 50 metros - y el lado AC (b) que es la distancia desde Mariana hasta el castillo. Donde desde la ubicación de Mariana se observa al castillo con un ángulo de 85° y desde la casa de Mariana se avista a dicho castillo con un ángulo de 70°

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo ABC

Denotamos al ángulo con el cual Mariana observa el castillo dado por enunciado de 85° como α estando ella colocada en el vértice A

$\large\boxed {\bold { \alpha = 85^o }}$

Denotamos al ángulo con el cual se avista el castillo desde la casa dado por enunciado de 70° como β estando la casa ubicada en el vértice B

$\large\boxed {\bold { \beta = 70 ^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo C -en el vértice donde se encuentra el castillo- al cual denotamos como γ  

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = A+ B+ C}}$

$\boxed {\bold { 180^o = \alpha + \beta + \gamma}}$

$\boxed {\bold { 180^o = 85^o+ 70^o + \gamma }}$

$\boxed {\bold { \gamma= 180^o - 85^o- 70^o }}$

$\large\boxed {\bold { \gamma = 25 ^o }}$

Calculamos la distancia entre la casa y el castillo

Hallando el valor del lado BC (a)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ a }{sen(85 ^o) } = \frac{ 50 \ metros }{ sen(25^o ) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 50 \ metros \ . \ sen(85^o ) }{sen(25^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 50 \ metros \ . \ 0.996194698092 }{0.422618261741 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 49.8097349046 }{ 0.422618261741 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { a\approx 117.85987 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 117.86 \ metros }}$

La distancia desde la casa al castillo es de aproximadamente 117.86 metros

Completamos el problema:

Determinamos la distancia entre Mariana y el castillo

Hallando el valor del lado AC (b)

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ b }{sen(70 ^o) } = \frac{ 50 \ metros }{ sen(25^o ) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 50 \ metros \ . \ sen(70^o ) }{sen(25^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 50 \ metros \ . \ 0.939692620786 }{0.422618261741 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 46.9846310393 }{ 0.422618261741 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { b\approx 111.1751 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 111.17 \ metros }}$

La distancia desde Mariana al castillo es de aproximadamente 111.17 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas