Question

Verificar la siguiente identidad trigonométrica: Sen(3x) = 4cosx - secx
SenxCosx

Answer 1

$\frac{sen(3x)}{sen(x)*cos(x)}$

sen(3x) se reescribe sen(x+2x) y podemos utilizar la igualdad de el seno de 2 ángulos sen (a+b)=cos(b)*sen(a)+sen(b)*cos(a); por ende, la expresión te queda: 

$\frac{cos(2x)*sen(x)+sen(2x)*cos(x)}{sen(x)*cos(x)}$

dado que sen(2a)=2*sen(a)*cos(a) y cos(2a)=cos²(a)-sen²(a) la expresión queda: 

$=\frac{( cos^{2}(x) -sen^{2}(x) )*sen(x)+(2sen(x)*cos(x))*cos(x)}{sen(x)*cos(x)}$

también sabemos que cos²(a)+sen²(a)=1; por ende -sen²(a)= cos²(a)-1 reemplazando en la expresión y resolviendo

$=\frac{( cos^{2}(x) +cos^{2}(x) -1)*sen(x)+(2*sen(x)*cos(x))*cos(x)}{sen(x)*cos(x)}$

$=\frac{( 2*cos^{2}(x) -1)*sen(x)+(2*sen(x)*cos(x))*cos(x)}{sen(x)*cos(x)}$

$=\frac{2*cos^{2}(x)*sen(x)-1*sen(x)+(2*sen(x)*cos(x))*cos(x)}{sen(x)*cos(x)}$
separando en las expresiones 
$=\frac{2*cos^{2}(x)*sen(x)}{sen(x)*cos(x)} -\frac{sen(x)}{sen(x)*cos(x)}+ \frac{2*sen(x)*cos(x)*cos(x)}{sen(x)*cos(x)}$

$=2*cos(x) -\frac{1}{cos(x)}+2*cos(x) \\ \\=4*cos(x) -\frac{1}{cos(x)}$

sabemos que sec(a)=1/cos(a) finalmente te queda

$=4*cos(x) -sec(x)}$