Question

HALLAR EL AREA ENTRE LAS CURVAS
1- H( X)= -X2+2 G( X )=X3
2- H( X)=2X+1 G( X )=X2

Answer 1

Hola,

Para hallar el área entre las curvas, tenemos que ver donde ambas funciones se interceptan, se tiene que cumplir esta condición o sino no existiría área entre las curvas.

Ejercicio 1

h(x) = -x² + 2
g(x) = x³

Intersectamos ambas curvas, esto es, igualamos las funciones para ver donde tienen un mismo punto en común:

h(x) = g(x)

-x² + 2 = x³

Acomodamos...

x³ + x² - 2 = 0

Al tanteo vamos evaluando números múltiplos de los coeficientes del término de mayor grado y menor grado, esto es, con {1,-1,2,-2}.Si decimos que x=1 la función queda :

1³ + 1² - 2 = 0

0 = 0

Entonces, x = 1 cumple con ser raíz del polinomio, teniendo este término podemos dividir el polinomio por (x-1) y seguir factorizando para encontrar los puntos de corte:

x³ + x² - 2 : x - 1 = x²+2x+2
-(x³ - x²)
_____
   2x² - 2 
- (2x² - 2x)
__________
  2x - 2 
 2x - 2 
_____
0

Así , podemos factorizar ese polinomio y expresarlo así :

(x-1)(x² + 2x + 2) = 0

Del primer término que multiplica tenemos que:

(x-1) = 0
x₁ = 1

El segundo término:

(x² + 2x +2) = 0

Utilizamos la fórmula de la ecuación cuadrática y nos dan las soluciones:

x₂ = (-2+√(4-4*2))/2 = -1 + i

x₃ = (-2-√(4-4*2))/2 = -1 - i 

O sea tendríamos que integrar desde 1 a -1+i o de -1-i? Es difícil ya que no podemos integrar esto, ya que necesitamos otra dimensión, la de los números complejos, no sé si habrá un operador que pueda integrar esta curva. Yo colocaría como respuesta: no se puede calcular el área entre la curva, si graficas verás que se intersecta en 1 y después en el plano de los reales por lo menos, no se vuelven a intersectar.

Ejercicio 2 

Veamos si este ejercicio es más gentil, intersectamos:

h(x) = 2x + 1 
g(x) = x²

h(x) = g(X) 

2x + 1 = x²

x² - 2x - 1 = 0

Encontramos las raíces de este polinomio (intersectos de las ecuaciones), con la fórmula de la ecuación cuadrática:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4\cdot-1} }{2} \\ \\ x = 1 \pm \sqrt{2}$

Entonces las soluciones serían:

x₁ = 1 + √2
x₂ = 1 - √2

Esto sí se puede integrar, eso si tenemos que ver que función  está arriba de la otra,no necesitamos hacer la gráfica, para eso es el cálculo, evaluamos un punto que esté en el rango [x₁,x₂] , evaluamos ese punto en h(x) y g(x) , viendo sus valores podemos determinar cuál está arriba de la otra para calcular la diferencia.

Veamos, digamos que x = 1 ;

h(1) = 2*1 + 1 = 3
g(1) = 1² = 1

h(1) es mayor que g(1) , por lo tanto , la función h(x) está por encima de g(x) en la región que queremos integrar que es entre 1-√2  y 1+√2  

Ahora bien, integramos entre esos intervalos ( para ahorrar escribir los límites, los dejaré expresados como x₁(1+√2 ) y x₂(1-√2) ) la diferencia entre las funciones:

$\int\limits^{x_{1}}_{x_{2}}(h(x)-g(x)) \, dx \\ \\ = \int\limits^{x_{1}}_{x_{2}}(2x+1-x^{2})dx$

Integramos la función y evaluamos los límites:

$\int\limits^{x_{1}}_{x_{2}}(2x+1-x^{2}) = (2 \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3})|^{x_{1}}_{x_{2}} \\ \\ = (x^{2}+x - \frac{x^{3}}{3})|^{x_{1}}_{x_{2}} = x_{1}^{2} + x_{1} - \frac{x_{1}^{3}}{3} - x_{2}^{2} - x_{2} + \frac{x_{2}^{3}}{3}$

Si sustituyes x₁ por (1+√2 ) y x₂ por (1-√2), llegarás a que :

$\boxed{\textbf{\'Area entre curvas} = \frac{8\sqrt{2}}{3} }$

Salu2 :).