Question

Un dirigible está volando a 800 metros de altura. Obserav un pueblo con
un ángulo de depresión de 12°. ¿Qué distancia debe recorrer el dirigible
en linea recta, manteniendo la altura, para estar exactamente sobre el
pueblo?​

Answer 1

La distancia que debe recorrer el dirigible en línea recta para situarse exactamente sobre el pueblo es de 3763.70 metros

Siendo correcta la segunda opción

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura a la que vuela el dirigible; el lado AC (b) que representa sobre el plano horizontal o del suelo, la distancia en línea recta que debe recorrer el dirigible para situarse sobre el pueblo, el cual se ubica en el vértice A del triángulo rectángulo.

A tal efecto se ha trazado una línea paralela $\bold { P_{1} }$ que es una proyección de la altura a la que vuela el dirigible con la línea del plano del suelo. Cuando el dirigible se ubique en el punto A', -la cual es una distancia medida perpendicularmente desde el pueblo ubicado en A-, estará exactamente sobre el poblado y finalmente el lado AB (c) es la longitud visual desde el dirigible al pueblo, el cual es visto con un ángulo de depresión de 12°

Donde se pide determinar:

La distancia que debe recorrer el dirigible en línea recta para ubicarse exactamente sobre el pueblo

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 12° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura a la que vuela el dirigible y de un ángulo de depresión de 12°

• Altura del dirigible = 800 metros

• Ángulo de depresión = 12°

• Debemos hallar la distancia que debe recorrer el dirigible en línea recta para ubicarse exactamente sobre el pueblo

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura a la que vuela el dirigible y conocemos un ángulo de depresión de 12° y debemos hallar la distancia que debe recorrer el dirigible en línea recta para ubicarse exactamente sobre el pueblo, la cual es el cateto adyacente del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la distancia que debe recorrer el dirigible en línea recta para situarse exactamente sobre el pueblo

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{ \alpha = 12^o }$

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(12^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(12^o) =\frac{altura \ del \ dirigible }{ distancia\ que \ recorre \ el \ dirigible } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ que \ recorre \ el \ dirigible = \frac{altura \ del \ dirigible }{ tan(12^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ que \ recorre \ el \ dirigible = \frac{800 \ metros }{ tan(12^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ que \ recorre \ el \ dirigible = \frac{ 800 \ metros }{0.21255656167 } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ que \ recorre \ el \ dirigible \approx 3763.7040 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia\ que \ recorre \ el \ dirigible \approx \ 3763.70\ metros}}$

La distancia que debe recorrer el dirigible en línea recta para situarse exactamente sobre el pueblo es de 3763.70 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto