Question

una persona observa en un ángulo de 50° lo alto que es un edificio, si la persona mide 1.8m y esta ubicado a 20m de la base del edificio, ¿cuál es la altura en metros del edificio?​

Answer 1

La altura del edificio es de 25.63 metros

Siendo correcta la segunda opción

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a una porción de la altura del edificio y llamamos a esa distancia "x", la cual es una preincógnita, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado- , el lado AB representa la línea visual desde el punto donde se encuentran los ojos del observador hasta el extremo superior del edificio; el cual es visto con un ángulo de elevación de 50° y finalmente el lado BC que es una proyección del plano del suelo - donde esta distancia coincide con el punto desde donde se encuentra el observador hasta la base del edificio-

Donde se pide hallar la altura (h) del edificio

Luego debemos dividir a la altura h del edificio en dos partes: la distancia "x", -la cual se encuentra por encima del observador y del plano del suelo- de la cual desconocemos su magnitud y la longitud que coincide con la altura de la persona observadora

La sumatoria de la distancia "x" y la estatura de la persona nos darán la altura h del edificio

Conocemos la distancia desde el observador hasta la base del edificio y de un ángulo de elevación de 50°

• Distancia de la persona hasta la base del edificio = 20 metros

• Ángulo de elevación = 50°

• Debemos hallar la distancia "x"

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde el observador hasta la base del edificio- y conocemos un ángulo de elevación de 50° y debemos hallar la distancia "x" -porción de la altura del edificio- , la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la distancia x (AC) -porción de la altura del edificio-

Planteamos

$\boxed { \bold { tan (50^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AC}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan (50^o) = \frac{distancia \ x }{ distancia \ a \ base \ edificio } = \frac{AC}{BC} }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = distancia \ a \ base \ edificio\ . \ tan (50^o) }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = 20\ metros\ . \ tan (50^o) }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = 20\ metros\ . \ 1.191753592594 }}$

$\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) = 23.83507\ metros }}$

$\large\boxed { \bold {distancia \ x \ (AC) =23.83 \ metros }}$

Por tanto la distancia x (AC) -porción de la altura del edificio- es de 23.83 metros

Determinamos la altura h del edificio

$\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h)= distancia \ x \ (AC) + altura \ persona \ (BB')}}$

$\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h) = 23.83 \ metros + 1.8 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h) = 25.63 \ metros }}$

Luego la altura del edificio es de 25.63 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto