Question

el punto medio de una cuerda de la parabola x²=16Y ES (3;6) HALLAR LA ECUACION DE LA CUERDA

Answer 1

  
     $\texttt{Sean }(x_1,y_1)\texttt{ y }(x_2,y_2) \texttt{ los extremos del segmento que yacen en}\\\texttt{la par\'abola, entonces tenemos: }\\ \\ \begin{cases} \dfrac{1}{2}(x_1+x_2,y_1+y_2)=(3,6)\\ \\ y_1=\dfrac{1}{16}x_1^2\\ \\ y_2=\dfrac{1}{16}x_2^2 \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} x_1+x_2=6\\ x_1^2+x_2^2=192 \end{cases}\\ \\ \\ x_1^2+(6-x_1)^2=192\\ \\ 2x_1^2-12x_1+36=192\\ \\ x_1^2-6x_1-78=0\\ \\ \boxed{x_1=3\pm \sqrt{87}}$
  
     $\texttt{Podemos considerar }x_1=3+ \sqrt{87}\texttt{ y }x_2=3- \sqrt{87}\\\\\texttt{Por consiguiente }y_1=\dfrac{48+3\sqrt{87}}{8}\texttt{ y }y_2=\dfrac{48-3\sqrt{87}}{8}\\ \\ \\ \text{Finalmente la ecuaci\'on de la recta}\\ \\ y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\\ \\ \\ y-\dfrac{48+3\sqrt{87}}{8}=\dfrac{-3\sqrt{87}/4}{-2\sqrt{87}}\left(x-3- \sqrt{87}\right)\\ \\ \\ y-\dfrac{48+3\sqrt{87}}{8}=\dfrac{3}{8}\left(x-3- \sqrt{87}\right)\\ \\ \\ 8y-48-3\sqrt{87}=3x-9-3\sqrt{87}$

Por fin la ecuación de la recta
 
                             $\boxed{\boxed{3x-8y+39=0}}$