Hallar la ecuación general de la parábola de parámetro negativo y eje focal paralelo al eje Y, si su foco y vértice son los extremos de un diámetro de la circunferencia de ecuación C:x2 y2−6x−8y 21=0
Respuestas
Respuesta:
P:x2−6x+16y−87=0
La ecuación general de la parábola de parámetro negativo y eje focal paralelo al eje Y es
x² - 6x + 16y - 87 = 0
¿Cuál es la ecuación canónica de una parábola de eje vertical?
Ya que se tienen el foco y el vértice ubicados en una línea vertical, la parábola es de eje focal vertical, por lo que la ecuación canónica es:
(x - h)² = ±4p(y - k)
donde
- (h, k) son las coordenadas del vértice
- p es la distancia, sobre el eje, del vértice al foco y a la directriz.
p es una distancia equivalente al diámetro de la circunferencia
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0, así que vamos a determinar el centro y radio de esta circunferencia aplicando completación de cuadrados
(x² - 6x + 9) - 9 + (y² - 8y + 16) - 16 + 21 = 0
(x - 3)² + (y - 4)² = 4
La circunferencia tiene centro en el punto (h', k') = (3, 4) y radio r = 2. El diámetro será 4, es decir, la distancia p = 4.
Ya que el eje de la parábola es vertical, debe pasar por el centro de la circunferencia para que p sea un diámetro, por tanto, el eje es la recta y = 4. El vértice y el foco están en los extremos del diámetro, es decir, a un radio hacia arriba y hacia abajo del centro de la circunferencia. Como el parámetro es negativo, el vértice estará arriba:
Vértice ( h', k' + r) = (3, 4 + 2) = (3, 6)
Foco ( h', k' - r) = (3, 4 - 2) = (3, 2)
Sustituimos en la ecuación canónica:
(x - h)² = ±4p(y - k) ⇒ (x - 3)² = -4(4)(y - 4) ⇒
(x - 3)² = -16(y - 6) ⇒ x² - 6x + 16y - 87 = 0
Tarea relacionada:
Ejercicios de parábolas brainly.lat/tarea/12287630
#SPJ2
