Question

A medida que un globo se eleva verticalmente su ángulo de elevación del punto P situado a nivel del piso a 110km del punto A que está directamente bajo el globo cambia de 19°20’ a 31°50’. Determinar que tanto se elevo el globo en este periodo de tiempo

Answer 1

El globo sube aproximadamente en ese período 29.76 kilómetros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo  

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El PQR en donde el lado PR representa la línea visual al globo con un ángulo de elevación de 19°20’, el lado QR equivale a la altura a la que ha ascendido el globo en ese momento, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, - de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos altura “x”-, teniendo finalmente el lado PQ el cual es la distancia desde determinado punto P hasta el punto Q situado directamente bajo el globo, siendo este cateto el adyacente al ángulo

El triángulo PQS en donde el lado PS representa la línea visual al globo con un ángulo de elevación de 31°50’, el lado QS es la segunda altura o altura final que ha alcanzado el globo, siendo este cateto el opuesto al ángulo de elevación conocido de este triángulo, - donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos altura “y”-, teniendo por último, el lado PQ -siendo este cateto el adyacente al ángulo dado- el cual es la distancia desde determinado punto P hasta donde asciende el globo en Q - coincidiendo con el cateto adyacente del primer triángulo-

Donde se pide determinar cuánto sube el globo durante este período (h)

Por tanto si hallamos la primera altura que alcanzó el globo - altura “x”- y la segunda altura a la que se elevó el globo - altura “y”- en donde ambas longitudes son los catetos opuestos a los respectivos ángulos de elevación de los dos triángulos rectángulos:

Luego la altura alcanzada por el globo en ese período- la cual es nuestra incógnita- se reduce a una resta entre la altura “y” y la altura “x”

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

Expresamos los ángulos dados sexagesimales en forma decimal

$\boxed{\bold { \alpha = 19^o20' =19.3^o }}$

$\boxed{\bold { \beta = 31^o50' =31.83^o }}$

Ver gráfico adjunto para procedimiento

Trabajamos en el triángulo PQR

Hallamos la altura x – primera altura del globo-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 19.3^o }$

$\boxed{\bold { tan(19.3^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(19.3^o) = \frac{altura \ x }{ distancia\ al \ globo } } }$

$\boxed{\bold { altura \ x = distancia\ al \ globo \ . \ tan(19.3^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ x = 110 \ km \ . \ tan(19.3^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ x = 110 \ km \ . \ 0.350195019574 } }$

$\boxed{\bold { altura \ x = 38.52145 \ km } }$

$\large\boxed{\bold { altura \ x= 38.52 \ km } }$

Luego la primera altura alcanzada por el globo es de 38.52 kilómetros

Trabajamos en el triángulo PQS

Hallamos la altura y – segunda altura del globo

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 31.83^o }$

$\boxed{\bold { tan(31.83^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(31.83^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia\ al \ globo } } }$

$\boxed{\bold { altura \ y = distancia\ al \ globo \ . \ tan(31.83^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ y = 110 \ km \ . \ tan(31.83^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 110 \ km \ . \ 0.620751391691 } }$

$\boxed{\bold { altura \ y =68.28265 \ km } }$

$\large\boxed{\bold { altura \ y = 68.28 \ km } }$

Por tanto la segunda altura alcanzada por el globo es de 68.28 kilómetros

Hallamos cuánto sube el globo durante este período

$\boxed{\bold { Subida \ del \ Globo \ (h) = altura \ y - altura \ x } }$

$\boxed{\bold { Subida \ del \ Globo\ (h)= 68.28 \ km - 38.52 \ km } }$

$\large\boxed{\bold {Subida \ del \ Globo\ (h) =29.76 \ km } }$

El globo sube aproximadamente en ese período 29.76 kilómetros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio planteado