Question

1. Observe los resultados obtenidos en la tabla anterior y a partir de ellos plantee una expresión algebraica que represente el área total de la región sombreada en función de la posición .

2 ¿A qué valor se aproxima el área de la región sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta.
Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática correspondiente.

3 ¿A qué valor se aproxima el área de la región no sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta.

Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática correspondiente.

Answer 1

1.
posicion, n    nueva area             area sombreada
                     no sombreada      

2                   1/2   = 1 / 2^1                  1 - 1/2 = 1/2
3                   1/4   = 1 / 2^2                  1 - 1/4 = 3/4
4                   1/8   = 1 / 2^3                  1 - 1/8 = 7/8
....

25              1/2^24 = 1 / 16777216       1 - 1/16777216 = 16777215/ 16777216

area sombreada, f(n) = 1 - 1/ 2^(n-1) = [2^(n-1) - 1] / (2^(n-1) ]

2. Lim as n ->∞ of 1 - 1 / 2^(n-1) = 1 - 1 / ∞ = 1 - 0 = 1

3. Lim as n -> ∞ of 1 / 2^(n-1) = 1 / ∞ = 0