Question

necesito ayuda es para hoy por favor no contesten si no saben

Answer 1

a) el dominio son los valores que puede tomar x, en una función racional de la forma: p(x)/q(x)

q(x)≠0

Esto debido a que si el denominador es 0, nos da algo indefinido.

Entonces, hacemos eso:

x-1≠0

x≠1

Dominio:

Df: R-{1}

Esto quiere decir que la función está definido en todos los valores excepto 1.

b) el rango son todos los valores que puede tomar y, se tiene la función:

f(x) = 1/(x-1)

Por comodidad:

y = 1/(x-1)

Ahora, lo ponemos en función de y:

y(x - 1) = 1

yx - y = 1

yx = 1 + y

x = (1+y)/y

El rango serían todos los valores excepto 0, y≠0

R: R-{0}

c) f(-1) quiere decir que x = - 1

$f( - 1) = \dfrac{1}{ - 1 - 1} \\ f( - 1) = - \dfrac{1}{2}$

f(0) quiere decir que x = 0

$f(0) = \dfrac{1}{0 - 1} \\ f(0) = - 1$

f(1) quiere decir que x = 1

Esto está indefinido, ya que tienes un cero en el denominador

d)

$\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$

$\dfrac{ \dfrac{1}{x + h - 1} - \dfrac{1}{x - 1} }{h}$

En el numerador hay fracciones heterogéneas, que no tienen el mismo numerador, para poder seguir,

$\dfrac{ \dfrac{ x - 1 - x - h + 1}{(x + h - 1)(x - 1)} }{h} \\ \dfrac{ - \dfrac{ h}{(x + h - 1)(x - 1)} }{h}$

Voy a hacer el producto aquí:

(x+h-1)(x- 1)

x² - x + hx - h - x + 1

x² - 2x + hx - h + 1

Lo ponemos:

$\dfrac{ - \dfrac{h}{ {x}^{2} - 2x + hx - h + 1} }{ \dfrac{h}{1} }$

Puse el h/1 para hacer una división más fácil de visualizar, aquí vas a usar extremos con extremos y medios con medios, es decir, vas a multiplicar el h de arriba con el 1 de abajo, y como sólo queda una posibilidad, la expresión debajo de h con h.

$- \dfrac{h}{h(x {}^{2} - 2x + hx - h + 1)}$

Se simplifica h por estar tanto en numerador como denominador:

$- \dfrac{1}{ {x}^{2} - 2x + hx - h + 1}$

Aquí falta algo, ya que lo que se está queriando usar es la derivada por definición, y por denfinición es:

$\boxed{ \lim_{h \to \: 0}( \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} ) }$

Nos falta usar el límite.

Entonces:

$\lim_{h \to \: 0} (- \dfrac{1}{ {x}^{2} - 2x + hx - h + 1} ) \\ - \dfrac{1}{ {x}^{2} - 2x + (0)x - 0 + 1 } \\ - \dfrac{1}{ {x}^{2} - 2x + 1 }$

x² - 2x + 1 es un producto notable, el cual se puede escribir como: (x - 1)²

Así pues, la respuesta será:

$\bf{ - \dfrac{1}{ {(x - 1)}^{2} } }$