• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: estuardovm2003
  • hace 3 años

necesito ayuda es para hoy por favor no contesten si no saben

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Respuesta dada por: HisokaBestHunter
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a) el dominio son los valores que puede tomar x, en una función racional de la forma: p(x)/q(x)

q(x)≠0

Esto debido a que si el denominador es 0, nos da algo indefinido.

Entonces, hacemos eso:

x-1≠0

x≠1

Dominio:

Df: R-{1}

Esto quiere decir que la función está definido en todos los valores excepto 1.

b) el rango son todos los valores que puede tomar y, se tiene la función:

f(x) = 1/(x-1)

Por comodidad:

y = 1/(x-1)

Ahora, lo ponemos en función de y:

y(x - 1) = 1

yx - y = 1

yx = 1 + y

x = (1+y)/y

El rango serían todos los valores excepto 0, y≠0

R: R-{0}

c) f(-1) quiere decir que x = - 1

f( - 1) =  \dfrac{1}{ - 1 - 1}  \\ f( - 1) =  -  \dfrac{1}{2}

f(0) quiere decir que x = 0

f(0) =  \dfrac{1}{0 - 1}  \\ f(0) =  - 1

f(1) quiere decir que x = 1

Esto está indefinido, ya que tienes un cero en el denominador

d)

 \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}

 \dfrac{ \dfrac{1}{x + h - 1}   -  \dfrac{1}{x - 1} }{h}

En el numerador hay fracciones heterogéneas, que no tienen el mismo numerador, para poder seguir,

 \dfrac{ \dfrac{ x - 1 - x  - h + 1}{(x + h  - 1)(x - 1)} }{h}  \\  \dfrac{ -   \dfrac{  h}{(x + h - 1)(x - 1)} }{h}

Voy a hacer el producto aquí:

(x+h-1)(x- 1)

x² - x + hx - h - x + 1

x² - 2x + hx - h + 1

Lo ponemos:

 \dfrac{  - \dfrac{h}{ {x}^{2} - 2x + hx - h  + 1} }{ \dfrac{h}{1} }

Puse el h/1 para hacer una división más fácil de visualizar, aquí vas a usar extremos con extremos y medios con medios, es decir, vas a multiplicar el h de arriba con el 1 de abajo, y como sólo queda una posibilidad, la expresión debajo de h con h.

 -  \dfrac{h}{h(x {}^{2}  - 2x + hx - h + 1)}

Se simplifica h por estar tanto en numerador como denominador:

 -  \dfrac{1}{ {x}^{2}  - 2x + hx - h + 1}

Aquí falta algo, ya que lo que se está queriando usar es la derivada por definición, y por denfinición es:

 \boxed{ \lim_{h \to \: 0}( \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} ) }

Nos falta usar el límite.

Entonces:

 \lim_{h \to \: 0} (-  \dfrac{1}{ {x}^{2}  - 2x + hx - h + 1} ) \\  -  \dfrac{1}{ {x}^{2} - 2x + (0)x - 0 + 1 }  \\  -  \dfrac{1}{ {x}^{2} - 2x + 1 }

x² - 2x + 1 es un producto notable, el cual se puede escribir como: (x - 1)²

Así pues, la respuesta será:

 \bf{ -  \dfrac{1}{ {(x - 1)}^{2} } }


HisokaBestHunter: cualquier duda me dices
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