Question

Un monton de basura de forma cubica esta siendo prensado. Sabiendo que el volumen decrece a razon de 2 metros cubicos por minuto, hallar la tasa de variacion del arista del cubo cuando el volumen es exactamente de 27 metros cubicos ¿Cual es en este instante la tasa de variacion de la superficie del cubo?

Answer 1

El arista del cubo se reduce a razón de 0,074 metros por segundo y su área superficial se reduce a razón de 2,67 metros cuadrados por segundo.

Explicación paso a paso:

Para hallar la tasa de variación del arista y del área superficial vamos a considerar en derivadas temporales las funciones V(t) y l(t), a través de la expresión del volumen de un cubo:

$V(t)=l(t)^3$

Si las derivamos en función del tiempo queda:

$\frac{dV}{dt}=3l(t)^2.\frac{dl}{dt}$

Si en un instante el volumen del cubo es de 27 metros cúbicos, el arista en ese mismo instante es $l=\sqrt[3]{27m^3} =3m$, por lo que la variación del arista queda;

$\frac{dV}{dt}=3l^2.\frac{dl}{dt}\\\\\frac{dl}{dt}=\frac{\frac{dV}{dt}}{3l^2}=\frac{2\frac{m^3}{s}}{3.(3m)^2}=0,074\frac{m}{s}$

Y con esa derivada podemos hallar la tasa de variación del área superficial del cubo:

$A=6l^2\\\\\frac{dA}{dt}=12l.\frac{dl}{dt}=12.3m.0,074\frac{m}{s}\\\\\frac{dA}{dt}=2,67\frac{m^2}{s}$