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dame coronitas siii por faa
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Estoy seguro de que todos los que estáis leyendo este artículo habéis hecho en alguna ocasión un examen tipo test durante vuestra vida académica. Si hacéis memoria, seguro que recordaréis que en esos exámenes todos nos preocupábamos por saber cosas como si las preguntas que dejábamos en blanco nos iban a restar puntuación o cuánto nos iba a penalizar una pregunta fallada. Había veces en las que esos fallos no restaban (es raro, pero conozco algún caso), pero lo normal era lo contrario. Lo curioso era que no siempre restaban lo mismo. Hoy vamos a hablar sobre cuál sería la fórmula correcta para puntuar en un test, y vamos a explicarlo matemáticamente.
Asumiendo que las preguntas en blanco ni suman ni restan, lo primero que hay que dejar claro es que lo más conveniente es que las preguntas falladas resten puntuación. La razón es muy sencilla: penalizar a quien responde al azar. El gran peligro de los exámenes test es que alguien que no tiene ni idea de la materia puede aprobar si tiene suerte (la famosa quiniela), por lo que tenemos que intentar minimizar la influencia de esa suerte.
Ahora, suponiendo que hay una única respuesta correcta por pregunta y que todas las preguntas tienen la misma importancia (es decir, todos los fallos restan lo mismo), ¿cuánto debe restar cada fallo? Pues…depende. No es lo mismo un examen test en el que cada pregunta tiene dos posibles opciones de respuesta que otro en el que las opciones son cinco. Respondiendo al azar, en el primero caso tenemos mayor probabilidad de acertar, 1/2, que en el segundo, 1/5, por lo que en el primero caso debe restar más que en el segundo.
Por tanto, parece lógico que la penalización por pregunta fallada debe tener alguna relación con el número de opciones de respuesta que tenemos en cada pregunta. Ya hemos dado el primer paso.
Sigamos con esta persona ficticia que no tiene ni idea de los contenidos sobre los que versa nuestro examen y que, por tanto, responde totalmente al azar. Suponiendo que contesta todas las preguntas, ¿qué nota queremos que saque? Pues está bastante claro, ¿verdad? Queremos que alguien que responde todas las preguntas al azar espere sacar un 0 bien redondito (fijaos en la palabra en cursiva de la frase anterior, espere). Aunque se puede dar el caso de que un examen test dé una puntuación negativa, debemos aplicar una fórmula que cumpla que la nota esperada (atentos de nuevo a la palabra en cursiva) para quien responde todo al azar sea un 0.
Vamos a dar la fórmula que se debe usar para puntuar en un test y después explicaremos matemáticamente por qué es así. Si cada pregunta del examen tiene k posibles respuestas, la fórmula que debe utilizar para puntuar es la siguiente:
Fórmula de puntuación de un examen test
Esto significa que, si en nuestro test hay 3 posibles respuestas por pregunta, cada error debe restar 0’5; si tiene 4 posibles respuestas, cada error debe restar 0’33…; con 5 opciones por pregunta, un error debe restar 0’25; y así sucesivamente.
El porqué de esa fórmula