Question

Un globo aerostático vuela en un parque de diversiones, a una altura de $20\sqrt{3}$ m de altura. Desde él se divisan 2 estaciones de atención al público, A y B, con ángulos de depresión de 30° y 60°, respectivamente. La distancia entre las estaciones es

Answer 1

La distancia entre ambas estaciones A y B es de 80 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo oblicuángulo ABC, donde los ángulos de depresión de 30° y 60° son ángulos notables.

Representamos la situación en un triángulo ABC, donde en el vértice C se encuentra el globo aerostático a una altura de 20√3 metros, desde donde se observan las dos estaciones A y B con ángulos de depresión de 30° y 60° respectivamente.

Donde se pide hallar la distancia entre las dos estaciones A y B

Por ser ángulos alternos internos trasladamos los ángulos de depresión de 30° y 60° a los puntos A y B respectivamente para facilitación

Luego la altura donde se encuentra el globo divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos, teniendo luego el triángulo rectángulo ACD y el triángulo rectángulo DCB

Donde para ambos triángulos rectángulos la altura a la que se encuentra el globo, medida perpendicularmente desde cierto punto en tierra al que llamaremos D resulta ser el cateto opuesto a ambos ángulos de depresión dados

Teniendo para el triángulo rectángulo ACD el lado DC que representa la altura donde se halla el globo, el lado AC que es la proyección visual a la estación A con un ángulo  de depresión de 30° y el lado AB que es la distancia desde la estación A hasta el punto D donde se eleva el globo, donde llamaremos a esa distancia x, la cual es una preincógnita

Para el triángulo rectángulo DCB se tiene el lado DC que representa la altura donde se halla el globo, el lado BC que es la proyección visual a la estación B con un ángulo de depresión de 60° y el lado BD que es la distancia desde la estación B hasta el punto D donde se eleva el globo, donde llamaremos a esa distancia y, la cual es una preincógnita

Halladas las distancias x e y, su sumatoria determinará la distancia entre ambas estaciones A y B

Solución

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia x en ACD

Conocemos

• Altura del globo = 20√3 metros

• Ángulo de depresión = 30°

• Debemos hallar la distancia denotada como x

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente

Como conocemos el valor del cateto opuesto (altura del globo) y de un ángulo de depresión de 30° y se desea hallar el cateto adyacente (distancia x) relacionamos los datos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{ altura\ globo }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ globo \ }{ tan(30)^o } } }$

El valor exacto de la tangente de 30°

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{\sqrt{3} }{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ globo \ }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 20\sqrt{3} \ metros }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 20\not \sqrt{3} \ . \ { \frac{3 }{\not \sqrt{3} } } \ metros }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 20 \ . \ 3 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 60 \ m } }$

La distancia x es de 60 metros

Hallamos la distancia y en DCB

Conocemos

• Altura del globo = 20√3 metros

• Ángulo de depresión = 60°

• Debemos hallar la distancia denotada como y

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente

Como conocemos el valor del cateto opuesto (altura del globo) y de un ángulo de depresión de 60° y se desea hallar el cateto adyacente (distancia y) relacionamos los datos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ altura\ globo }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ globo \ }{ tan(60)^o } } }$

El valor exacto de la tangente de 60°

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ globo \ }{ \sqrt{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 20\not \sqrt{3} \ metros }{\not \sqrt{3} } }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 20 \ m } }$

La distancia y es de 20 metros

Hallamos la distancia entre las estaciones A y B

$\boxed{\bold { Distancia \ A B = distancia \ x + distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ A B = 60 \ metros + 20 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { Distancia \ A B = 80 \ metros } }$

La distancia entre ambas estaciones A y B es de 80 metros