Question

una circunferencia tiene su centro en el punto c(0,-2) y es tangente a la recta 5x-12y+2=0 hallar su ecuación ordinaria

Answer 1

La tangente es una recta que solamente toca a la circunferencia en un punto específico, ¿cierto? Significa que ese punto donde toca a la circunferencia es en un borde, y la recta que va desde el centro hacia cualquier borde de la circunferencia se llama radio, ¿verdad?

Ahora bien, el centro tiene coordenadas (h,k), aunque los valores son (0,-2), eso significa que de este punto a la recta es un radio porque iría una recta desde el centro hasta el borde de la circunferencia. Para ello necesitas la ecuación de un punto a una recta:

║(Ax+By+C) ÷ +- √(A²+B²)║

Sustituyendo (El signo de la raíz es el signo que tenga tu "B"; es decir, el coeficiente de "y". 

║(5x-12y+2) ÷  -√(5²+12²)║
║(5x-12y+2) ÷  - √169║
║(5x-12y+2) ÷  - 13║

Sustituyes los valores del punto en "x" y "y" respectivamente. 

║(5(0)-12(-2)+2) ÷  - 13║
║(26 ÷  - 13║
║-2║= ║2║

Significa que el radio es 2. 
Ahora simplemente sustituimos en la ecuación ordinaria de la circunferencia:

r²= (x-h)² + (y-k)²
2²=(x-0)² + (y-(-2))²
4=(x-0)² + (y+2)² 

Y esa es tu ecuación ordinaria, si quieres la general, sólo desarrolla los binomios e iguala a 0.

4=(x-0)² + (y+2)² 
4=x²+y²+4y+4
0=x²+y²+4y+4-4
0=x²+y²+4y

Espero te haya servido. Suerte. 

Answer 2

La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro (0,-2) y que es tangente a la recta 5x - 12y + 2 es igual a x² + (y + 2)² = 4

Encontramos la distancia del centro a la recta que es tangente a la circunferencia así obtenemos el radio de la circunferencia

d = |5(0) - 12(-2) + 2|/(√(5² + 12²))

d = |26|/√169

d = 26/13

d = 2

Luego, tenemos que la circunferencia tiene centro (0, -2) y el radio es es igual a 2, entonces obtenemos la ecuación de la circunferencia será igual a:

(x - 0)² + (y + 2)² = 2²

x² + (y + 2)² = 4

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