Question

El siguiente diagrama representa el salto que el deportista Irving Acosta desea realizar sobre una rampa para cruzar un abismo. Se conoce la medida de los tres postes de la rampa a construir, las medidas son: 5m, 6m y 9m. Calcula los tres ángulos internos de la rampa:

Answer 1

Los ángulos que forman los lados de los postes de la rampa son de:

A = 31.59°, B = 109.47° y C = 38.94°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo                                              

Solución

Hallando el ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar              

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(9 \ m)^{2} + (6 \ m) ^{2} - (5 \ m)^{2} }{2 \ . \ 9 \ m \ . \ 6 \ m } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{81 \ m^{2} + 36 \ m^{2} - 25 \ m^{2} }{108 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{117 \ m^{2} - 25\ m^{2} }{108 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{92 \not m^{2} }{108 \not m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 92 }{108 } = \frac{ \not 4 \ . \ 23 }{\not 4 \ . \ 27 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 23 }{27 } }}$

Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo

$\boxed {\bold {A=arccos\left( \frac{23}{27} \right ) }}$

$\boxed {\bold {A = 31.5863^o }}$

$\large\boxed {\bold {A = 31.59^o }}$                                  

Hallando el ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(5 \ m )^{2} + (6 \ m )^{2} - (9 \ m )^{2} }{2 \ . \ 5 \ m \ . \ 6 \ m } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{25\ m^{2} + 36\ m^{2} - 81\ m^{2} }{60 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{61\ m^{2} - 81\ m^{2} }{60 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= -\frac{20 \not m^{2} }{60 \not m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= -\frac{ 20 }{60 } = - \frac{ \not 20 \ . \ 1 }{\not 20 \ . \ 3 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= -\frac{ 1 }{3 } }}$

Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo

$\boxed {\bold {B=arccos\left( -\frac{1}{3} \right ) }}$

$\boxed {\bold {B = 109.47122^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 109.47^o }}$      

Hallando el ángulo C

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del terreno triangular, vamos a hallar el tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 31.59^o +109.47^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 31.59^o -109.47 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 38.94^o }}$

Se agrega un gráfico que representa a la rampa del ejercicio para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas