Question

. Un tanque defectuoso con un volumen de 1500 ft y que contiene 100% de gas propano (a latm) se
debe purgar con aire (a 1 atm) hasta que la concentración de propano se reduzca a menos del 1%.
Con esa concentración de propano ya es posible reparar el defecto por soldadura Si la velocidad de
flujo del aire hacia el tanque es de 30 ft3/min, durante cuantos minutos deberá purgarse el tanque?
Suponga que la operación se realiza de modo que los gases dentro del tanque se mezclan bien.​

Answer 1

Para que la concentración de propano se reduzca a menos del 1%, deberá purgarse el tanque por  76.36  minutos, aproximadamente.

Explicación:

P(t) es la proporción de aire puro en el tanque en un momento t, en ft³

 

t  es el tiempo en minutos

E  es la tasa de entrada de aire al tanque

S  es la tasa de salida de solución con propano del tanque

Entonces planteemos la ecuación diferencial:

$\bold{\dfrac{dP}{dt}~=~E~-~S}$

$E~=~(30~\frac{ft^3}{min})\cdot(100/100)$

$S~=~(30~\frac{ft^3}{min})\cdot(\dfrac{P}{1500})~=~\dfrac{P}{50}~\frac{ft^3}{min}}$

Entonces la ecuación diferencial, que representa la tasa de cambio de la cantidad de aire puro en el tanque en un instante es:

$\bold{\dfrac{dP}{dt}~=~30~-~\dfrac{P}{50}~=~30(1~-~\dfrac{P}{1500})}$

Resolvemos la ecuación diferencial de variables separables conociendo que inicialmente (tiempo cero) en el tanque no hay aire puro (P  =  0) y que se desea que P llegue a 99%; es decir  P  =  0.99.

$\dfrac{dP}{dt}~=~30~-~\dfrac{P}{50}~=~30(1~-~\dfrac{P}{1500})\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{dP}{(1~-~\dfrac{P}{1500})}~=~30 dt\qquad\Rightarrow$

$\int {\dfrac{dP}{(1~-~\dfrac{P}{1500})}} \, ~=~\int {30} \, dt \qquad\Rightarrow\qquad -(1500)Ln(1~-~\dfrac{P}{1500})~=~30t~+~C \qquad\Rightarrow$

$Ln(1~-~\dfrac{P}{1500})~=~\dfrac{30t~+~C}{-1500} \qquad\Rightarrow\qquad 1~-~\dfrac{P}{1500}~=~e^{\dfrac{30t~+~C}{-1500}}\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{P}{1500}~=~1~-~e^{\dfrac{30t~+~C}{-1500}}\qquad\Rightarrow\qquad P~=~(1500)\cdot[1~-~e^{(-\dfrac{t}{50})}\cdot e^{(-\dfrac{C}{1500})}] \qquad\Rightarrow$

$\bold{P_{(t)}~=~1500~-~k\cdot e^{-\dfrac{t}{50}}}\qquad\qquad\qquad donde\qquad k~=~(1500)\cdot e^{(-\dfrac{C}{1500})} \qquad\Rightarrow$

Originalmente    P  =  0    y    t  =  0

$\bold{0~=~1500~-~k\cdot e^{-\dfrac{0}{50}}\qquad\Rightarrow\qquad k~=~1500}$

Entonces, el modelo de simulación de la cantidad de aire en el tanque es:

$\bold{P_{(t)}~=~1500~-~1500\cdot e^{-\dfrac{t}{50}}}$

Finalmente, se desea conocer el valor de  t  cuando  P  =  1485  (99%)

$\bold{1485~=~1500~-~1500\cdot e^{-\dfrac{t}{50}}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{15}{1500}~=~e^{-\dfrac{t}{50}}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\dfrac{1500}{15}~=~e^{\dfrac{t}{50}}\qquad\Rightarrow\qquad100~=~e^{\dfrac{t}{50}}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{t}{50}~=~Ln(100)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{t~=~50 \cdot Ln(100)~\approx~76.36~~minutos}$

Para que la concentración de propano se reduzca a menos del 1%, deberá purgarse el tanque por  76.36  minutos, aproximadamente.