Question

Ecuación diferencial lineal con factor de integración:

Buen día me preguntaba si podrían ayudarme con el procedimiento estos problemas:

(3 y/x - 8)dx + 3dy = 0
tengo que el factor de esta ecuación es: x
y que la solución es: y = x^2 + cx

finalmente tengo esta otra ecuación que es exacta y me preguntaba si podrían ayudarme a resolverla:

(sen y - y sen x)dx + (cos x + x cos y - y)dy = 0

Answer 1

La solución de la primera ecuación es $y=\frac{4}{3}x+\frac{C}{x}$

Y la solución de la segunda ecuación es $y.cos(x)+x.sen(y)+\frac{x^2}{2}+C=0$

Explicación:

Para resolver una ecuación diferencial podemos aplicar separación de variables, esto es, que en cada miembro haya una sola variable:

$(3\frac{y}{x}-8)dx+3dy=0\\3\frac{y}{x}-8+3\frac{dy}{dx}=0\\\\3\frac{y}{x}-8+3y'=0\\\\3y'+\frac{3}{x}.y=8\\\\y'+\frac{1}{x}y=\frac{8}{3}\\\\p(x)=\frac{1}{x}, q(x)=\frac{8}{3}$

Vamos a proponer una función auxiliar u(x):

$u(x)=e^{\int\limits^{}_{} {\frac{1}{x}} \, dx }=e^{lnx}=x$

Y la solución de la ecuación es:

$u.y=\int\limits^{}_{} {u.q} \, dx\\\\xy=\int\limits^{}_{} {x.\frac{8}{3}} \, dx\\\\xy=\frac{8}{3}\frac{x^2}{2}+C\\\\y=\frac{4}{3}x+\frac{C}{x}$

Y para hallar la solución de la otra ecuación tenemos que aplicar serie de potencias:

$(sen(y)-y.sen(x))dx+(cos(x)+x.cos(y)-y)dy=0\\\\sen(y)-y.sen(x)+(cos(x)+x.cos(y)-y)y'=0\\\\sen(y)-y.sen(x)+y'cos(x)+y'x.cos(y)-yy'=0\\\\y'.cos(x)-y.sen(x)=(y.cos(x))'\\\\sen(y)+y'.x.cos(y)=(x.sen(y))'\\\\(y.cos(x))'+(x.sen(y))'-y\frac{dy}{dx}=0$

Integramos ambos miembros:

$y.cos(x)+x.sen(y)+\int\limits^{}_{} {y.\frac{dy}{dx}} \, dx =0\\\\y.cos(x)+x.sen(y)+\frac{y^2}{2}+C =0$

La  solución es esta, es una ecuación trascendente.