5.- La lata con tapa para envasar aceite.
Una compañía fabricante de aceites desea construir latas cilíndricas de un litro
de capacidad para envasar su producto. Encuentra las dimensiones que debe
tener la lata que requiera la mínima cantidad de material en su construcción
Ayuda por favor, herminio. Moderador profesor necesito su ayuda
Respuestas
Respuesta:
Se trata de un problema de máximos y mínimos.
El volumen de la lata es:
V(r,h)=π.r².h
V(r,h)=1; entonces: π.r².h=1 dm³ (condición).
Entonces. h=1/π.r²
La superficie de un cilindro es;
S(r,h)=2.π.r.(h+r);
S(r)=2.π.r.((1/π.r²)+r);
S(r)=2.π.r.((1+π.r³)/(π.r²));
S(r)=2.((1+π.r³)/r).
Realizamos la primera derivada:
S`(r)=2.[(3.π.r².-1)/r²]
Iugalamos la primera derivada a "0" y obtenemos valores de "r"
2.[(3.π.r².-1)/r²]=0;
3.π.r²-1=0;
r=√(1/3.π). (0.3257 dm).
Para comprobar si se trata de un máximo o un mínimo realizamos la 2ª derivada;
S``(r)=2.[6.π-2]/r³.
Sustituimos el valor obtenido.
S``(√(1/3π)>0; por tanto se trata de un mínimo.
Despejamos h; h=1/π(√1/3.π)²=3.
Sol: la altura será 3 dm, y el radio 0.326 dm.
Explicación paso a paso: