Question

Se compra 45 cajas de almendras a “m” soles cada una en la tienda “Buena Salud”. Si se factoriza el polinomio M(x;y)=x^6 y^2-29x^4 y^4+100x^2 y^6, se observa que la suma de los coeficientes de sus factores primos es m.
Calcula:

a) El número de factores primos.

b) El costo total que se pagó en la tienda “buena Salud”.

Answer 1

El polinomio M(x,y) tiene en total 6 factores primos.

En total se pagaron 315 soles en la tienda Buena Salud.

Explicación paso a paso:

Para factorizar el polinomio M(x,y) se puede empezar sacando factor común de $x^2y^2$ ya que es un término que multiplica a todos los términos:

$M(x,y)=x^6y^2-29x^4y^4+100x^2y^6=x^2y^2(x^4-29x^2y^2+100y^4)$

El polinomio obtenido $(x^4-29x^2y^2+100y^4)$ se factoriza como $(x^2-ay^2)(x^2-by^2)$ donde es a+b=29 y a.b=100. Por lo que vamos a hallar los factores a y b:

$ab=100\\b=\frac{100}{a}\\\\a+b=a+\frac{100}{a}=29\\\\a^2+100=29a\\\\a^2-29a+100$

Por lo que resolvemos la ecuación cuadrática:

$a=\frac{29\ñ\sqrt{29^2-4.1.100}}{2.1}=\frac{29\ñ\sqrt{841-400}}{2}=\frac{29\ñ21}{2}\\\\a=25\\a=4$

Esos son los valores de 'a' y de 'b', por lo que el polinomio queda:

$M(x,y)=x^2y^2(x^2-25y^2)(x^2-4y^2)$

Los factores que quedan son sendas diferencias de cuadrados que se pueden factorizar como tales.

$M(x,y)=x^2y^2(x-5y)(x+5y)(x-2y)(x+2y)$

Tenemos 6 factores primos, siendo la sumatoria de sus coeficientes igual a 'm':

m=1+1+1-5+1+5+1-2+1+2=7

Con lo cual, en la tienda "Buena Salud" se pagaron 7 soles por cada caja, si son 45 cajas, el costo total es:

$C=45.7=315$