Question

El cuadrado de la suma de los lados de un rectángulo es igual al cuadrado de la
diagonal, más 120 cm2
. Si la diferencia de los lados es igual a 7 cm, entonces el
perímetro del rectángulo mide
AYUDAA NO SÉ COMO PLANTEAR ESTO :(

Answer 1

Respuesta:

El perímetro del rectángulo mide 34cm en total.

Explicación paso a paso:

1. Planteamos el enunciado:

Llamaremos x a un lado e y a otro. Con el enunciado podemos sacar varias cosas:

  $\underbrace{(x+y)^2}_{cuadrado\,\,de\,\,la\,\,suma\,\,de\,\,los\,\,lados} = \underbrace{(\sqrt{x^2+y^2})^2}_{cuadrado\,\,de\,\,la\,\, diagonal} +120$

Y también que $x = y -7$

Vemos que es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

2. Simplificamos la primera ecuación:

  $(x+y)^2= (\sqrt{x^2+y^2})^2+120 \longrightarrow x^2+2xy+y^2 = x^2+y^2 +120 \longrightarrow \\\\x^2-x^2 +2xy+y^2-y^2 = 120 \longrightarrow 2xy = 120 \longrightarrow xy=120:2 =60$

3. Resolvemos el sistema:

  $\left \{ {{xy=60} \atop {x=y-7}} \right. \longrightarrow (y-7)\cdot y = 60\longrightarrow y^2-7y=60\longrightarrow y^2-7y-60=0$

  Como nos da una ecuación cuadrática, aplicamos la fórmula para las ecuaciones cuadráticas:

   $y = \frac{{ - b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a} \longrightarrow y = \frac{{ - (-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4\cdot(1)\cdot(-60)}}}{2\cdot(1)} \longrightarrow y = \frac{{ 7 \pm \sqrt{49 +240}}}{2} \longrightarrow \\\\ y= \frac{7 \pm17}{2} \longrightarrow y_1 = \frac{7+17}{2}=12\,,\,\,\,y_2= \frac{7-17}{2}=-5$

4. Razonamos y terminamos de resolver el sistema:

   Como estamos calculando un lado, el valor no puede ser negativo, por lo que descartamos que -5 sea una solución, y nos quedamos con y = 12, y ya podemos terminar de resolver el sistema:

   $\left \{ {{xy=60} \atop {x=y-7}} \right. \longrightarrow x=y-7 \longrightarrowx = 12-7 =5$

5. Comprobamos:

  $(x+y)^2= (\sqrt{x^2+y^2})^2+120 \longrightarrow (5 +12)^2 = 5^2+12^2 +120 \longrightarrow \\\\17^2 = 25+144+120 \longrightarrow 289=289$

6. Resolvemos la pregunta:

  $perimetro= (lado_1\cdot2) +(lado_2\cdot2) \longrightarrow x= (5\cdot 2)+(12\cdot 2) = 10+24=34cm$