Question

Para localizar una emisora, dos receptores. A y B, que distan entre sí 13 kilometros, orientan sus antenas hacia el punto donde
está la emisora Estas direcciones forman con el segmento AB ángulos de medida 29°y 33º respectivamente ¿ a que distancia
del receptor A se encuentra la emisora?

Answer 1

La distancia del receptor A hasta donde se encuentra la emisora es de aproximadamente 8.02 kilómetros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Se representa la situación en un triángulo ABC el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos receptores A y B, el lado AC (b) y AB (a) que equivalen a las distancias respectivas de los receptores A y B hasta la emisora ubicada en C. Donde en el receptor A se tiene hacia la emisora una dirección con un ángulo de 29° y en el receptor B la dirección es de 33° hacia el mismo punto

En donde se debe calcular a que distancia del receptor A se encuentra la emisora

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: de 29° y de 33° como α y β respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 29^o+ 33^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 29^o- 33^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 118^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 118°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos la distancia del receptor A hasta donde se encuentra la emisora

Denotamos a la distancia entre el receptor A y el receptor B de la cual conocemos su valor como "c" y a la distancia entre el receptor A y la emisora como "b"

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (33 ^o ) } = \frac{ 13 \ km }{sen(118^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 13 \ km \ . \ sen(33 ^o ) }{\ sen(118^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 13 \ km \ . \ 0.544639035015 }{0.8829475928589 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 7.0803074551953 }{ 0.8829475928589 }\ km}}$

$\boxed { \bold { b \approx8.018944 \ km }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx8.02 \ km }}$

La distancia del receptor A hasta donde se encuentra la emisora es de aproximadamente 8.02 kilómetros

Aunque el enunciado no lo pida podemos calcular la distancia del receptor B hasta donde se encuentra la emisora

Calculamos la distancia del receptor B hasta donde se encuentra la emisora

Denotamos a la distancia entre el receptor B y la emisora como "a"

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (29 ^o ) } = \frac{ 13 \ km }{sen(118^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 13 \ km \ . \ sen(29 ^o ) }{\ sen(118^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 13 \ km \ . \ 0.4848096202463 }{0.8829475928589 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 6.3025250632023 }{ 0.8829475928589 }\ km}}$

$\boxed { \bold { a \approx7.13805\ km }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx7.14 \ km }}$

La distancia del receptor B hasta donde se encuentra la emisora es de aproximadamente 7.14 kilómetros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas