Question

En un triángulo ABC (recto en B) se traza la altura BH. Las bisectrices de los ángulos ABH y HBC intersecan a la hipotenusa en los puntos M y N . Si AB + BC - AC = 8; calcular MN.

Answer 1

x+y - 4a=8

• Ángulo ABH y HBC es 45°.
• Entonces BH = 2a
• $x = 2a \sqrt{2} \\ y = 2a \sqrt{2}$
• $2a \sqrt{2} + 2a \sqrt{2} - 4a = 8 \\ 4a \sqrt{2} - 4a = 8 \\ 4a( \sqrt{2 } - 1) = 8 \\ a = 2 \div ( \sqrt{2} - 1)$

MN=2a

$2(2 \div ( \sqrt{2} - 1)) \\ 4 \div ( \sqrt{2} - 1) \\ 4 \times ( \sqrt{2} + 1) \div ( \sqrt{2} - 1)( \sqrt{2} + 1) \\ 4( \sqrt{2} + 1) \div { \sqrt{2} }^{2} - {1}^{2} \\ 4( \sqrt{2} + 1) \div 2 - 1$

$mn = 4( \sqrt{2} + 1)$