Respuestas
Respuesta:
Trapecio (geometría)
Trapecio
Tipo Cuadrilátero, paralelogramo
Lados 4
Vértices 4
Grupo de simetría m
Explicación paso a paso:
La longitud de la mediana, m, de un trapecio es igual a la suma de la longitud de sus bases, a y b dividida entre dos:
{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
El segmento que une los puntos medios de sus diagonales, n, tiene una longitud igual a la base mayor menos la menor dividida entre dos:
{\displaystyle n={\frac {b-a}{2}}}{\displaystyle n={\frac {b-a}{2}}}
Si los lados de un trapecio son respectivamente iguales a los de otro trapecio, entonces los trapecios son iguales.
La altura h de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases, a y c, y de los dos lados b y d, mediante la siguiente ecuación:
{\displaystyle h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-\left(d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2(a-c)}}}{\displaystyle h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-\left(d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2(a-c)}}}
En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d.
Diagonales y lados
Teniendo en cuenta que {\displaystyle d_{1},d_{2}}d_1, d_2 son las diagonales, {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} las bases, {\displaystyle c,d}{\displaystyle c,d} los lados no paralelos, n el segmento que conecta los puntos medios de las bases, m la paralela a las bases que pasa por la intersección de diagonales, se cumplen estas fórmulas:
{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab}{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab}
{\displaystyle m={\frac {2ab}{a+b}}d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}{\displaystyle m={\frac {2ab}{a+b}}d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}
{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+d^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2})}}}{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+d^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2})}}}
{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-ab)-(a^{2}+b^{2})}}}{\displaystyle n={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-ab)-(a^{2}+b^{2})}}}4
Área
Distintos tipos de trapecios y su relación con los paralelogramos
El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:
{\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}}{\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}}.
Si solo se conocen las longitudes de los cuatro lados:
{\displaystyle A={\frac {a+c}{4(|a-c|)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}}}{\displaystyle A={\frac {a+c}{4(|a-c|)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}}}
Donde a y c son las bases del trapecio.
Teorema de Euler
El teorema de Euler, en el caso de un trapecio isósceles, se reduce a
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2d^{2}+4m^{2}\,}{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2d^{2}+4m^{2}\,}
siendo a y b las bases, c el lado igual y d la diagonal y m el segmento que une los puntos medios de las diagonales.
Caso isósceles
Siendo a la base mayor; b, la base menor; c=d, los lados no paralelos; γ, ángulo en la base mayor, resulta el área:5
{\displaystyle A=(a-\cos \gamma )c\operatorname {sen} \gamma =(b+\cos t\gamma )c\operatorname {sen} \gamma }{\displaystyle A=(a-\cos \gamma )c\operatorname {sen} \gamma =(b+\cos t\gamma )c\operatorname {sen} \gamma }