Question

El monte rushmore: para medir la altura de la cara de Lincoln en el monte rushmore, se toman dos lecturas desde una distancia de 800 pies de la base, si el angulo de elevación a la base de la cara es de 32° y el angulo a la parte superior es de 35°, ¿ cual es la altura de la cara?

Answer 1

1 . Altura del edificio 

alfa = 40º 
beta = 32º 
D = 50 pies 

cada punto de observación el extremo del edificio y su base forman triángulos rectángulos donde 

la altura de edificio (H) es el cateto opuesto al ángulo de elevación 
a y b son los catetos adyacentes 

tan(alfa) = H/a 

tan(beta) = H/b 

despajando a y b de las ecuaciones 

a = H /tan(alfa) 

b = H / tan(beta) 

además 

b = a + D 

reemplazando 

H / tan(beta) = H /tan(alfa) + D 

H / tan(beta) - H /tan(alfa) = D 

D = H*( 1 /tan(beta) - 1/ tan(alfa)) 

despejando H 

H = D / ( 1 /tan(beta) - 1/ tan(alfa)) 

reemplazando por los valores 

H = 50 pies /( 1 /tan(32º) - 1/ tan(40º)) = 122,37 pies 


2 . Monte Rushmore 

En este caso cada ángulo de observación corresponde a un punto distinto de la cara 

alfa = 35º 
beta = 32º 
D = 800 pies 

En este caso cada ángulo de observación corresponde a un punto distinto de la cara 

El punto de observación, cada punto de la cara y la base forman triángulos rectángulos donde 

a y b son los puntos de la cara es el cateto opuesto al ángulo de elevación 
D la distancia al pie del monto es el cateto adyacente 

tan(alfa) = a/D 

tan(beta) = b/D 

despajando a y b de las ecuaciones 

a = D*tan(alfa) 

b = D*tan(beta) 


altura de la cara (h) = b - a = D*tan(alfa) - D*tan(beta) 

= D*(tan(alfa) -tan(beta)) 

reemplazando por los valores 

h = 800 pies*( tan(35º) - tan(32º)) = 60,27 pies <--------------- altura de la cara 


3. Altura del helicóptero 

alfa = 40º 
beta = 25º 
D = 100 pies 

cada punto de observación el extremo del helicóptero y su base forman triángulos rectángulos donde 

la altura del helicóptero (H) es el cateto opuesto al ángulo de elevación 
a y b son los catetos adyacentes 

tan(alfa) = H/a 

tan(beta) = H/b 

despajando a y b de las ecuaciones 

a = H /tan(alfa) 

b = H / tan(beta) 

además 

D = a+ b (el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une) 

reemplazando 

D = H / tan(beta) + H /tan(alfa) 

D = H * (1/ tan(beta) + 1 /tan(alfa) ) 

despejando H 

H = D / (1/ tan(beta) + 1 /tan(alfa)) 

reemplazando por los valores 

H = 100 pies /( 1 /tan(25º) + 1/ tan(40º)) = 29,97 pies