Question

Ayudaa
Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
f(x)=12x^5+15x^4-20x^3-30x^2

Answer 1

La función tiene 3 puntos de inflexión: x=-1, $x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ y $x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$. Los intervalos de concavidad hacia abajo son $(-\infty,-1)\cup(\frac{1-\sqrt{17}}{8},\frac{1+\sqrt{17}}{8})$ y los intervalos de concavidad hacia arriba son $(-1,\frac{1-\sqrt{17}}{8})\cup(\frac{1+\sqrt{17}}{8},+\infty)$

Explicación paso a paso:

Los intervalos de concavidad de una función están dados por el signo de la derivada segunda.

Los intervalos de positividades de esta son los intervalos de concavidad hacia arriba, los intervalos de negatividades son los intervalos de concavidad hacia abajo y las raíces son los puntos de inflexión. Vamos a hallar la derivada segunda:

$f'(x)=5.12x^4+4.15x^3-3.20x^2-2.30x=60x^4+60x^3-60x^2-60x\\\\f''(x)=240x^3+180x^2-120x-60=60(4x^3+3x^2-2x-1)$

Tenemos que hallar las raices del polinomio$4x^3+3x^2-2x-1$, por tanteo una de ellas es -1, aplicamos Ruffini para hallar las otras dos:

$~~~~~|4~~3~~-2~~-1\\-1|~~-4~~~1~~~~~1\\----------\\~~~~~~|4~~-1~~-1~~~0$

Para hallar las otras dos raíces resolvemos la ecuación cuadrática $4x^2-x-1$:

$x=\frac{1\ñ\sqrt{(-1)^2-4.4.(-1)}}{2.4}=\frac{1\ñ\sqrt{1+16}}{8}\\\\x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}\simeq 0,64\\x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}\simeq -0,39$

Tenemos 3 puntos de inflexión. Conociendo las funciones de grado 3, el intervalo $(-\infty,-1)$ es de negatividad y por ende de concavidad hacia abajo de la función principal, luego (-1,-0,39) pasa a ser de concavidad hacia arriba, (-0,39;0,64) es de concavidad hacia abajo y $(0,64,+\infty)$ es de concavidad hacia arriba.