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Respuesta:
En matemáticas, la derivada parcial de una función de varias variables es la derivada con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son usadas en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función {\displaystyle f(x,y,\dots )}{\displaystyle f(x,y,\dots )} con respecto a la variable {\displaystyle x}x se puede denotar de distintas manera:
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial x}}f,D_{1}f,\partial _{x}f,f_{x}^{\prime }{\text{ o }}f_{x}.}{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial x}}f,D_{1}f,\partial _{x}f,f_{x}^{\prime }{\text{ o }}f_{x}.}
Donde {\displaystyle \partial }\partial es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como {\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}{\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} que es la primera derivada respecto a la variable {\displaystyle x_{1}}{\displaystyle x_{1}} y así sucesivamente.1
Cuando una magnitud {\displaystyle A}A es función de diversas variables ({\displaystyle x,y,z,...}{\displaystyle x,y,z,...}), es decir:
{\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}{\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a dicha función {\displaystyle A}A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función.
Explicación paso a paso:
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.