Question

TEMA: ONDAS MECÁNICAS
Hola! Estaba revisando un examen de admisión de la UNI y este problema me causó curiosidad:
La función de onda mecánica formada en una cuerda es de la forma:
y(x; t) = 1/9sen(5πx – 9πt)m
donde t está en s y x en m. Si la potencia media es de 18 mW, calcule aproximadamente, en g/m, la densidad lineal de la cuerda.

Me gustaría que me explicaran este problema detalladamente, con su gráfico si es necesario, gracias :)

Answer 1

Respuesta:

¡Hola!

Problema:

La función de onda mecánica formada en una cuerda es de la forma:

     $\mathrm{y(x; t) = \dfrac{1}{9} sen(5\pi x - 9\pi t)\ m}$

donde t está en s y x en m. Si la potencia media es de 18 mW, calcule aproximadamente, en g/m, la densidad lineal de la cuerda.

Fórmula a utilizar:

                                       $\large\boxed{\boxed{\mathbf{P=\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot v \cdot \omega^{2} \cdot A^{2}}}}$

En esta ecuación se presentan dos coeficientes 5π (k) y 9π (ω) y la potencia de la onda es 18 mW

Y además para la velocidad de propagación tenemos:

                                                 $\boxed{\mathsf{v=\dfrac{\omega}{\kappa} } }$

Identificamos los datos:

  ➺ Potencia media(P) = 18 mW

  ➺ Densidad lineal(μ) = ¿?

  ➺ Velocidad de propagación(v) = 9π / 5π

  ➺ Frecuencia(ω) = 9π

  ➺ Amplitud(A) = 1/9

Reemplazamos en la fórmula principal:

$\mathrm{P=\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot v \cdot \omega^{2} \cdot A^{2}}$

• La potencia la represento en vatios que sería 0.018 y en notación científica 18×10⁻³

$\mathrm{18\times 10^{-3} =\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot v \cdot \omega^{2} \cdot A^{2}}$

• Aquí reemplazamos la velocidad de propagación (v) = frecuencia / número de onda, lo denotamos como 9π / 5π

$\mathrm{18\times 10^{-3} =\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot \dfrac{9\pi }{5\pi } \cdot \omega^{2} \cdot A^{2}}$

• Ahora la frecuencia angular (ω) que es 9π

$\mathrm{18\times 10^{-3} =\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot \dfrac{9\pi }{5\pi } \cdot (9\pi)^{2} \cdot A^{2}}$

• Y por último la amplitud (A) que te la dan como dato, la amplitud es 1/9

$\mathrm{18\times 10^{-3} =\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot \dfrac{9\pi }{5\pi } \cdot (9\pi)^{2} \cdot \left(\dfrac{1}{9}\right) ^{2}}$

∴ Resolvemos:

$\mathrm{18\times 10^{-3} =\dfrac{1}{2}\cdot \mu\cdot \dfrac{9\pi }{5\pi } \cdot (9\pi)^{2} \cdot \left(\dfrac{1}{9}\right) ^{2}}$

$0.018=\dfrac{1}{2}\cdot \mu \cdot \dfrac{28.27\:}{15.70\:}\cdot 799.43\cdot 0.01$

$0.018=\dfrac{1}{2}\cdot \mu \cdot 14.39$

$0.018= \mu \cdot 7.195$

$\dfrac{0.018}{7.195} = \mu$

$0.002 = \mu$

La densidad lineal de la cuerda es 0.002 kg/m

Pero pide calcular en g/m, entonces:

Multiplicamos el valor de la densidad en kg/m por 1000

  0.002 × 1000 = 2 g/m

$\large\underline{\textbf{La densidad lineal de la cuerda es 2 g/m aproximadamente}}}$