En un cohete, el combustible se agota después de 60 segundos. En los primeros t segundos, el cohete alcanza una altura de 10t^2 metros sobre la tierra.
a ¿Qué altura alcanza el cohete antes de quemar por completo su combustible?
b ¿Cuál es la velocidad promedio del cohete durante su vuelo de 60 segundos?
Respuestas
Respuesta:
Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba desde el reposo con una aceleración vertical y hacia arriba constante de 14,7\textstyle \frac{m}{s^2} durante 8 s. En ese momento se le acaba el combustible y el cohete continúa moviéndose de manera que únicamente queda sujeto a la gravedad de la Tierra. Determina:
a) La altura máxima que alcanza el cohete.
b) El tiempo que tardaría en regresar a Tierra.
SOLUCIÓN:
El cohete sufre dos movimientos acelerados distintos; el primero de ascenso con una aceleración que será la resultante de la aceleración dada por el combustible y la de la gravedad, y el segundo con una aceleración igual a la de la gravedad. La aceleración neta de ascenso es: a_r=(14,7 - 9,8)\frac{m}{s^2} = 4,9\frac{m}{s^2}
a) Para calcular la altura máxima vamos a diferenciar dos partes:
Primera parte: El cohete sube durante 8 s con esa aceleración media. La velocidad que tendrá cuando se acabe el combustible será:
v_{8s} = v_0 + a_rt = 4,9\frac{m}{s^2}\cdot 8\ s = 39,2\frac{m}{s}
Este valor de velocidad es el que tomaremos como velocidad inicial una vez que se acaba el combustible del cohete.
La altura del cohete a los 8 s será:
v^2 = v_0^2 + 2a_rh_{8s}\ \to\ h_{8s} = \frac{v^2}{2a_r} = \frac{39,2^2\ m^2/s^2}{2\cdot 4,9\ m/s^2} = 156,8\ m
Segunda parte: Calculamos el tiempo que seguirá subiendo debido a la velocidad que lleva cuando se le acaba el combustible. Ahora consideramos que la velocidad final será cero y la inicial la calculada antes:
v = v_0 - gt\ \to\ t_s_2 = \frac{v_0}{g} = \frac{39,2\ m/s}{9,8\ m/s^2} = 4\ s
Por lo tanto, el tiempo de total de subida del cohete son (8 + 4) = 12 s, dato que nos será de utilidad en el apartado b).
La altura que alcanza el cohete será:
h_{max} = h_{8s} + v_0t_s_2 - \frac{g}{2}\cdot t_s_2^2
h_{max} = 156,8\ m + 39,2\frac{m}{s}\cdot 4\ s - 4,9\frac{m}{s^2}\cdot 4^2\ s^2 = \bf 235,2\ m
Explicación paso a paso: