Question

Ayudenme! En un polígono regular el valor del angulo interno es igual a cinco veces el valor del angulo central. Calcular el numero total de diagonales, de dicho polígono

Answer 1

Para llegar a saber el nº de diagonales, primero hay que saber el nº de lados que es lo mismo que el nº de ángulos CENTRALES en cualquier polígono regular.

Fíjate que en un polígono regular, al trazar dos segmentos desde el centro a dos vértices consecutivos se nos forma un triángulo isósceles donde el lado desigual es justamente el lado, excepto en el hexágono que el lado es igual a esos segmentos ya que se nos forma un equilátero.

Si acudimos a la regla conocida de que la suma de ángulos de cualquier triángulo es 180º y sabiendo que en un polígono regular, un ángulo interno es SUPLEMENTARIO del ángulo central, tengo esto:

Angulo interno: a
Angulo central: c

Se cumple que  a+c = 180 ... de donde despejando... a = 180-c

Por otro lado, el texto del ejercicio nos dice que ... a = 5c 

Resolviendo por igualación:
180 - c = 5c ------->  180 = 6c --------> $c= \frac{180}{6} =30$

Lo que nos dice que cada uno de los ángulos centrales mide 30º.

Como sabemos que la suma de todos los ángulos centrales de cualquier polígono nos va a dar el ángulo total de la circunferencia, es decir, 360º, divido para saber cuántos ángulos centrales y por tanto, cuántos lados tiene ese polígono:
360 : 30 = 12 lados = dodecágono

Una vez conocido el nº de lados (n) ya recurro a la fórmula para calcular el nº de diagonales (d):

$d= \frac{n*(n-3)}{2} = \frac{12*9}{2} =54$

El dodecágono tiene 54 diagonales

Saludos.