Question

derivada ‍♂️ y = (1 - x)(x - 2)​

Answer 1

Hola, aqui va la respuesta

               Derivada de una función

"La derivada de una función f en el punto a ∈ Dom(f), denotado como f'(x) es:"

$f'(a)= \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

• Además diremos que f es derivable si f es derivable en "a" para todo "a" del dominio de f

Analicemos la derivada a traves  de la gráfica de la siguiente función

Tenemos una función (de color rojo), el punto x₁ y x₁ + h separados una distancia "h". Lo que quiero hacer es encontrar la pendiente de la recta que pasa por esos 2 puntos (recta secante de color rojo oscuro)

La pendiente se calcula:

$m= \frac{y_{2} -y_{1} }{x_{2}-x_{1} }$

Nos queda:

$m= \frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1}) }{h}$

Lo que me interesa a mi es que el punto (x₁ + h; f(x₁ + h) ) se acerque a (x₁ ; f(x₁),  es decir busco una recta que lo corte en un punto (recta tangente)

Para poder hacer eso debo ir achicando "h" para que se acerque, es decir debo hacer que "h" tienda a 0

$m= \lim_{ h\to 0} \frac{f(x_{1} +h)-f(x_{1}) }{h}$

Para un punto cualquiera de "a" o "x" (es lo mismo) sería:

$f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Conociendo la definición, procedemos a resolver el ejercicio pero recordando algunas propiedades

Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo y derivables, con c ∈ R tenemos:

                 Regla de la suma/ diferencia

        [f(x) ± g(x)]'= f'(x) ± g'(x)

                 Regla de la constante

 (c)'= 0   es decir,  f(x)= c y su derivada es 0

             Derivada de la funcion identidad

Si f(x)= ax,   entonces   f'(x)= a ,   donde   a ∈ R

            Regla del producto

[f(x) * g(x)]'=  f'(x) * g(x) + f(x)*g'(x)

Ahora podemos resolver el ejercicio

$f(x)=(1-x)(x-2)$

Por regla del producto:

$f'(x)= (1-x)'*(x-2) + (1-x)*(x-2)'$

Aplicando regla de la diferencia:

$f'(x)= (1'-x')*(x-2) + (1-x)*(x'-2')$

$f'(x)= (0 - 1)(x-2) + (1-x)*(1-0)$

$f'(x)= -1*(x-2) + (1-x)*1$

$f'(x)= -x+2 + 1 - x$

$f'(x)= -2x+3$    Solución

Te dejo un ejercicio similar

• https://brainly.lat/tarea/32486618

Saludoss