2. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro
fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres
bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla fundida,
esta haya sido de la segunda caja?
Respuestas
Respuesta:
Solución:
Aplicación del teorema de probabilidad total
Denotemos los siguientes eventos:
A_1:Sacar bombilla de caja 1.
A_2:Sacar bombilla de caja 2.
A_3:Sacar bombilla de caja 3.
F: Bombilla defectuosa.
Considerando el teorema de probabilidad total, tenemos que:
{P(F)=P(A_1)\cdot P(F|A_1) + P(A_2)\cdot P(F|A_2)+ P(A_3)\cdot P(F|A_3)}
La probabilidad de elegir una bombilla de cualquier caja es \displaystyle \frac{1}{3} y la probabilidad de elegir una bombilla fundida de cada una de las cajas depende del número total de bombillas en la caja y del número de bombillas fundidas en esta misma caja.
La probabilidad de elegir una bombilla fundida es la suma de probabilidades de elegir una bombilla fundida de cada caja y la podemos calcular de la siguiente manera:
\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{10} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8} =
\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{4}{30} + \frac{1}{18} + \frac{3}{24}= }
Para sumar las fracciones, encontramos el mcm y multiplicamos cada una de ellas por el número que le corresponde.
\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{4}{30}\cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{18}\cdot \frac{20}{20} + \frac{3}{24}\cdot \frac{15}{15} =\frac{113}{360}