Question

Un proyectil disparado formando un ángulo de 43º con la horizontal. Llega al suelo a una distancia de 4000 metros del cañón. Calcular la velocidad inicial del proyectil, tiempo de vuelo y la máxima altura.
poefa ayuda

Answer 1

La velocidad inicial del lanzamiento del proyectil es de 198.232 metros por segundo (m/s)

El tiempo de vuelo del proyectil es de 27.59 segundos

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 932.52 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Despejamos para hallar la velocidad inicial }$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}$

$\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 4000 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 43^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 39200 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (86^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 39200 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ 0.9975640502598} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{39295.722404781\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}= 198.2314869 \ \frac{m }{s } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}= 198.232 \ \frac{m }{s } }}$

La velocidad inicial del lanzamiento del proyectil es de 198.232 metros por segundo (m/s)

Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Dado que en el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (198.232 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (43^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{396.464\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.6819983600624 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{396.464\ \ . \ 0.6819983600624 }{9,8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{270.38779782381 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =27.5905 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =27.59 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 27.59 segundos

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Empleamos el valor de la velocidad inicial del lanzamiento hallada en el primer inciso

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(198.232 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (43^o) }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{39295.825824\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.6819983600624)^{2} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{39295.825824\ \ \ . \ 0.4651217631279 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{18277.343790827 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 932.51754\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 932.52\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 932.52 metros

Se adjunta gráfico