Question

Encontrar el área encerrada entre las funciones f(x)=2x2
y g(x)=x+6
Encontrar el área encerrada entre las funciones f(x)=4x3
y g(x)=4x

Answer 1

Respuesta:

Para la primera

$Interseccion: x=2,\:x=-\frac{3}{2}$

$Area\: \frac{343}{24} \: u^2$

Para la segunda

$Interseccion:\: x=0,\:x=-1,\:x=1$

$A=2\: u^2$

Explicación paso a paso:

Para la primera

$Hallar\: la \: interseccion\: entre\: curvas$

$\left(x+6\right)=\left(2x^2\right)$

$Intercambiar\:lados$

$2x^2=x+6$

$\mathrm{Restar\:}6\mathrm{\:de\:ambos\:lados}$

$2x^2-6=x+6-6$

$Simplificar$

$2x^2-6=x$

$\mathrm{Restar\:}x\mathrm{\:de\:ambos\:lados}$

$2x^2-6-x=x-x$

$Simplificar$

$2x^2-x-6=0$

$\mathrm{Separar\:las\:soluciones}$

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+7}{2\cdot \:2},\:x_2=\frac{-\left(-1\right)-7}{2\cdot \:2}$

$Las\:soluciones\:a\:la\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:son$

$x=2,\:x=-\frac{3}{2}$

Plantear una integral la curva mayor menos la curva menor limites de integración las intersecciones

$\int _{-\frac{3}{2}}^2x+6-2x^2dx$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:suma}:\quad \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$=\int _{-\frac{3}{2}}^2xdx+\int _{-\frac{3}{2}}^26dx-\int _{-\frac{3}{2}}^22x^2dx$

$\int _{-\frac{3}{2}}^2xdx=\frac{7}{8}$

$\int _{-\frac{3}{2}}^26dx=21$

$\int _{-\frac{3}{2}}^22x^2dx=\frac{91}{12}$

$=\frac{7}{8}+21-\frac{91}{12}$

$=\frac{343}{24} \: u^2$

Para la Segunda

$Hallar\: la \: interseccion\: entre\: curvas$

$4x^3=4x$

$4x^3-4x=4x-4x$

$4x^3-4x=0$

$4x\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0$

$\mathrm{Las\:soluciones\:son}$

$x=0,\:x=-1,\:x=1$

Plantear 2 integrales viendo las graficas ver la foto 2

La primera integral la curva mayor "la que esta por encima de la otra es" f(x)

por lo que la integral queda:

$\int _{-1}^04x^3-4xdx$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:suma}:\quad \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$=\int _{-1}^04x^3dx-\int _{-1}^04xdx$

$\int _{-1}^04x^3dx=-1$

$\int _{-1}^04xdx=-2$

$=-2$

$=1$

Para la 2da integral la función que esta por encima es: g(x) entonces la integral queda:

$\int _0^14x-4x^3dx$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:suma}:\quad \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$=\int _0^14xdx-\int _0^14x^3dx$

$\int _0^14xdx=2$

$\int _0^14x^3dx=1$

$=2-1$

$=1$

Sumas el valor de las dos áreas y el resultado te queda:

$A=1+1=2$

$A=2\: u^2$