Question

Como parte de un proceso de fabricaciÛn, encuentras el siguiente escenario. Un tonel contiene 100 litros de agua. Por error alguien vierte 100 gramos de sal dentro del tonel en lugar de la cantidad correcta, la cual es 50 gramos. Para corregir esta condiciÛn, un tapÛn se remueve del fondo del tonel permitiendo que 1 litro de la mezcla áuya hacia afuera cada minuto. Al mismo tiempo, 1 litro de agua fresca por minuto se bombea al tonel manteniendo la mezcla uniforme por agitaciÛn constante.
i) Demuestre que si x(t) representa el n ̇mero de gramos de sal en la soluciÛn al tiempo t, la ecuaciÛn diferencial que describe x es:
dx = x dt 100
Donde x(0) = 100.
ii) øCu·nto tiempo tomar· para que la mezcla contenga la cantidad deseada de sal?
iii) Determine la ecuaciÛn del modelo x(t) si la cantidad de agua en el tonel es F litros, la cantidad en la cual la mezcla áuye hacia afuera es W litros por minuto (y la misma cantidad de agua fresca se agrega), y la cantidad de la sal inicialmente agregada es C gramos.

Answer 1

Se determina la cantidad de agua en gramos y de agua en litros que tendremos luego de t minutos

Tenemos que se agregan 50 gramos de sal en 100 litros de agua:

La densidad de la sal: es igual a 2,16 g/ml entonces en 100 gramos de sal hay:

V = m/d = 100 g/2,16 g/ml = 46,30 ml= 0,0462 L

Por lo tanto la nueva mezcla contiene 100,0462 L entonces el porcentaje de sal es:

100,0462 L ------ 100%

0,0462 L  ----------- x

x = 0,0462*100%/100,0462 = 0,0462%

Y de agua: 99,9538%

Si se extrae un litro de la mezcla entonces salen por minuto entonces se extrae:

Agua: 0.999538 L

Sal: 0.000461 L

Como se agrega 1 litro de agua fresca entonces cada minuto se agrega 0.000461 L de agua y se extrae la misma cantidad de sal, la función de sal en la solución en tiempo t:

0.000461 L de sal = 0.000461 L de sal = 0.461 ml  de sal = 0.99576 g de sal

X(t) = 100 g - 0.99576 g*t

La cantidad de agua será:

Y(t) =  1 L + 0.999538 L*t