Question

Juan va a instalar una casa de campaña con forma de tetraedro que le regalaron, pero le va a colocar un poste al centro de ella para sostenerla. Sabemos que sus caras forman triángulos equiláteros. Juan necesita saber ¿Cuál es la altura h?, para colocar dicho poste, Juan sabe que cada lado a de los triángulos mide 3 metros
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Answer 1

Respuesta:

2.4

Explicación paso a paso:

la hipotenusa mide 2.59, por lo tanto al ser un triángulo rectángulo el cateto debe ser menor

Answer 2

La altura  h  del poste que Juan debe colocar es de 2.45  metros, aproximadamente.

Explicación paso a paso:

Para hallar el valor de  h  necesitamos conocer el valor de la distancia  e  y la distancia  x, de manera de aplicar el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo marcado en rosa.

Cálculo de  e

Sabemos que la distancia  a  es  3  metros y que la distancia PC  es  la mitad, es decir,  1.5  metros. Por tanto, aplicamos el Teorema de Pitágoras y hallamos  e:

$\bold{(3)^2~=~(e)^2~+~(\dfrac{3}{2})^2\qquad\Rightarrow}$

$\bold{e~=~\sqrt{(3)^2~-~(\frac{3}{2})^2}~=~\dfrac{3\sqrt{3}}{2}~~m}$

Cálculo de  x

En la figura anexa se observa el triángulo base ubicado sobre el eje  x  con vértices en los puntos (0, 0) y (3, 0).

Se trazaron, además, dos medianas cuyo punto de corte es el punto base de ubicación del poste; es decir, es punto de partida de la altura  h.

Primero, hallamos la longitud del segmento que va del eje x al vértice B, mediante el teorema de Pitágoras.

$\bold{AltB~=~\sqrt{(3)^2~-~(\frac{3}{2})^2}~=~\dfrac{3\sqrt{3}}{2}~~m}$

Esa altura es, a su vez, el valor de la coordenada  y  del vértice  B

$\bold{B~=~(\dfrac{3}{2},~\dfrac{3\sqrt{3}}{2})}$

Luego, hallamos el punto medio BC

$\bold{Punto~Medio~BC~=~(\dfrac{3+\dfrac{3}{2}}{2},~\dfrac{\dfrac{0+3\sqrt{3}}{2}}{2})~=~(\dfrac{9}{4},~\dfrac{3\sqrt{3}}{4})}$

Hallamos la ecuación de la mediana A y con la mediana B construimos un sistema que nos permite hallar el punto intersección cuya coordenada  y  es la distancia  llamada  x  en el tetraedro.

Ecuación de la recta que pasa por los puntos  (h, i) y (j, k)

$\bold{y~-~i~=~\dfrac{i~-~k}{h~-~j}(x~-~h)}$

$\bold{y~-~0~=~\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}~-~0}{\dfrac{9}{4}~-~0}(x~-~0)\qquad\Rightarrow\qquad y~=~\dfrac{\sqrt{3}}{3}x}$

Finalmente, se construye el sistema de ecuaciones:

$\left \{ {{\bold{y~=~\dfrac{\sqrt{3}}{3}x}}\\\\ \atop {{\bold{x~=~\dfrac{3}{2}}} \right.$

$\bold{y~=~\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

El valor hallado de la coordenada  y  del punto intersección de las medianas es el valor de la distancia  x  en el tetraedro.

Cálculo de  h

Aplicando el Teorema de Pitágoras

$\bold{h~=~\sqrt{(\dfrac{3\sqrt{3}}{2})^2~-~(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}~=~\sqrt{6}~~m}$

La altura  h  del poste que Juan debe colocar es de 2.45  metros, aproximadamente.

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