Question

calcula longitud de un árbol que se encuentra 15 grados inclinado y que proyecta una sombra de 18 metros cuando el sol tiene un ángulo de elevacion de 60 grados​

Answer 1

La longitud del árbol inclinado es de aproximadamente 22.05 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la longitud del árbol inclinado, el lado AC (b) que equivale a la longitud que proyecta la sombra del árbol sobre la línea del suelo  y el lado BC (c) que es la proyección de la elevación al sol con un ángulo de 60°      

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Hallando el valor del ángulo γ  - Para conocer la inclinación del árbol

Sucede que el árbol al inclinarse en la dirección del sol se inclina 15° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo. o lo que es lo mismo se inclina hacia la dirección a su sombra

Vamos a calcular la inclinación del árbol

Si el árbol no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse el árbol en el sentido de las manecillas del reloj debemos restar de 90° la inclinación de 15° dada por enunciado

$\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o -\ 15^o = 75^o }}$

Al ángulo de elevación de 60° dado por enunciado lo denotaremos como α

Si

$\large\boxed {\bold { \alpha = 60^o }}$

Hallando el valor del ángulo β    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 75^o+ 60^o + \beta }}$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 75^o- 60^o }}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 45 ^o }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculando la longitud del árbol inclinado

Hallando el valor del lado a

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(60^o ) } = \frac{ 18 \ metros }{sen(45 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 18 \ metros \ . \ sen(60 )^o }{sen(45)^o } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {2 } }$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{2} } {2 } }$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 18 \ metros \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ \frac{\sqrt{2} }{2} } }}$

$\boxed { \bold { a = 18 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} \ .\ \frac{2 }{\sqrt{2} } \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = \not 2 \ . \ 9 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not 2} \ .\ \frac{2 }{\sqrt{2} } \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = 9 \ . \ \sqrt{3} \ .\ \frac{2 }{\sqrt{2} } \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = 9 \ . \ \sqrt{3} \ .\ \left(\frac{2 }{\sqrt{2} } \ . \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }\right) \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = 9 \sqrt{3} \ .\ \frac{2\sqrt{2} }{2 } \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = 9 \sqrt{3} \ .\ \frac{\not 2\sqrt{2} }{\not2 } \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = 9 \sqrt{3} \ .\ \sqrt{2} \ metros }}$

$\boxed { \bold { a = 9 \sqrt{3\ . \ 2 } \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { a = 9 \sqrt{6 } \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 22.05 \ metros }}$

La longitud del árbol inclinado es de aproximadamente 22.05 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas