Question

Hallar el area de una esfera x^2+y^2=r^2.
se resuelve por el tema: area de una superficie de revolucion.

Answer 1

Hola,

parametrizando tenemos que :

x(t) = rcost
y(t) = rsent

La fórmula para el área de una superficie de revolución respecto al eje y es :

$A = 2 \pi \int\limits^a_b {x(t) \sqrt{( \frac{dx}{dt})^{2} + ( \frac{dy}{dt})^{2} } } \, dt$

Si quieres rotar respecto al eje x, solo cambia el factor x(t) a y(t). Eso es lo que vamos a hacer, vamos a rotar respecto al eje x ,

Entonces tenemos:

x(t) = rcost => x'(t) = -rsent
y(t) = rsent => y'(t) = rcost

Integramos en el dominio de la parametrización donde 0<=t<=π;

$A = 2 \pi \int\limits^a_b {y(t) \sqrt{( \frac{dx}{dt})^{2} + ( \frac{dy}{dt})^{2} } } \, dt \\ \\ A = 2 \pi \int\limits^\pi_0 rsent \sqrt{r^{2}sen^2t + r^{2}cos^{2}t}dt \\ \\ A = 2 \pi r^{2}\int\limits^\pi_0sentdt\\ \\ A = 2\pi r^{2} \cdot 2 \\ \\ \boxed{A = 4\pi r^{2}}$

Salu2 :).