al lanzar una piedra a un estanque se forman círculos cimetricos en la superficie del agua. el radio del círculo mayor está dado por r=0.6t, dónde t es el tiempo transcurrido en segundos a partir de qué la piedra toca el agua ¿cuál es el tiempo transcurrido si el radio del círculo mayor es de 30 cm?
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Respuesta:
Hola!
Este es un problema de razones de cambio relaconadas.
Lo primero que haremos es definir las variables de cambio:
La primera es la variación de Radio en función del tiempo:
\frac{dr}{dt} = 16m/s
dt
dr
=16m/s
La otra es la variación del Área en función del tiempo: \frac{dA}{dt}
dt
dA
.
Ahora debemos relacionar el área de un círculo con su radio:
A= \pi r^{2}A=πr
2
.
Le aplicamos las derivadas anteriormente descritas.
\frac{dA}{dt}= \frac{d}{dt}( \pi r^{2}(t))=2 \pi r(t) \frac{dr}{dt}
dt
dA
=
dt
d
(πr
2
(t))=2πr(t)
dt
dr
Como queremos conocer la tasa de cambio en r=4cm entonces r(t)=4 cm. Sustituimos:
\frac{dA}{dt}= 2 \pi (4cm) (16cm/s)=402.1cm ^{2}/s
dt
dA
=2π(4cm)(16cm/s)=402.1cm
2
/s .
Entonces en el instante en que el radio es de 4cm, éste tiene un cambio de 16 cm/s y el área tiene un cambio 402.1cm²/s
Espero haberte ayudado