Question

demuestre que no existe una recta que pase por el punto (1,2) que sea tangente a la curva y=4-x^2

Answer 1

Lo primero que hacemos es averiguar que pendiente tendrá esa supuesta recta que es tangente a la curva y=4-x², en el punto (1,2)

La pendiente de esa supuesta recta es la primera derivada de la función en el punto x=1

m=f´(x)

Por tanto:
1) calculamos la primera derivada de la función y=4-x².
y´=-2x

2) Calulamos ahora la pendiente (m) de la recta en x=1.
m=f´(1)=-2(1)=-2

Ahora que ya conocemos la pendiente de esa supuesta recta vamos a contruir la ecuación de la recta con pendiente m=-2, y que pasa por el punto (1,2).

Ecuación punto pendiente: necesitamos una pendiente (m) y un punto (x₀,y₀):
y-y₀=m(x-x₀)

Conocemos la pendiente (m=-2) y el punto (1,2); por tanto:
y-2=-2(x-1)
y-2=-2x+2
y=-2x+2+2
y=-2x+4

Ahora se tiene que cumplir lo siguiente: el punto (1,2) tiene que ser común para la recta y para la curva:

En la recta vemos que se cumple:
si x=1;  ⇒y=-2(1)+4=-2+4=2  (en la recta existe el punto (1,2)

Pero en la curva no se cumple:
si x=1; ⇒y=4-(1)²=4-1=3.  (en la curva no exsite el punto (1,2))

Solucion: Se demuestra que no se cumple porque en la curva y=4-x², no existe el punto (1,2), ya que cuando x=1; y=3; en ella existe el punto (1,3)


La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,3) y es tangente a la curva y=4-x², sería: y=-2x+5

y-3=-2(x-1)
y=-2x+2+3
y=-2x+5